50. Давай разберёмся с задачей 50, где нужно по рисунку 43 определить градусные меры углов и назвать равные углы.
а) Чтобы найти градусные меры углов $AOX$, $BOX$, $AOB$, $COB$, $DOX$, посмотрим на рисунок 43. Там есть транспортир, который показывает градусы:
* $\angle AOX = 30^\circ$
* $\angle BOX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$
* $\angle AOB = 30^\circ$
* $\angle COB = 30^\circ$
* $\angle DOX = 150^\circ$
б) Углы, равные $20^\circ$, на рисунке не вижу.
в) Равные углы:
$\angle AOX = \angle AOB = \angle COB = 30^\circ$
г) Углы со стороной $OA$:
$\angle AOX = 30^\circ$, $\angle AOB = 30^\circ$
51. а) Луч $OE$ делит угол $AOB$ на два угла. Если $\angle AOE = 44^\circ$ и $\angle EOB = 77^\circ$, то, чтобы найти угол $AOB$, нужно сложить эти два угла:
$\angle AOB = \angle AOE + \angle EOB = 44^\circ + 77^\circ = 121^\circ$
б) Если $\angle AOE = 12^\circ37'$ и $\angle EOB = 108^\circ25'$, то:
$\angle AOB = \angle AOE + \angle EOB = 12^\circ37' + 108^\circ25' = 121^\circ2'$
52. Луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла. Известно, что $\angle AOB = 78^\circ$, и угол $AOC$ на $18^\circ$ меньше угла $BOC$. Получается, что:
$\angle AOC = \angle BOC - 18^\circ$
А также:
$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$
Подставим первое уравнение во второе:
$78^\circ = (\angle BOC - 18^\circ) + \angle BOC$
$78^\circ = 2 \cdot \angle BOC - 18^\circ$
$2 \cdot \angle BOC = 78^\circ + 18^\circ$
$2 \cdot \angle BOC = 96^\circ$
$\angle BOC = 48^\circ$
53. Луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла. $\angle AOB = 155^\circ$, а угол $AOC$ на $15^\circ$ больше угла $COB$. Значит:
$\angle AOC = \angle COB + 15^\circ$
И при этом:
$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$
Подставим первое уравнение во второе:
$155^\circ = (\angle COB + 15^\circ) + \angle COB$
$155^\circ = 2 \cdot \angle COB + 15^\circ$
$2 \cdot \angle COB = 155^\circ - 15^\circ$
$2 \cdot \angle COB = 140^\circ$
$\angle COB = 70^\circ$
Теперь найдём угол $AOC$:
$\angle AOC = \angle COB + 15^\circ = 70^\circ + 15^\circ = 85^\circ$
54. Угол $AOB$ является частью угла $AOC$. Известно, что $\angle AOC = 108^\circ$ и $\angle AOB = 3 \cdot \angle BOC$. Нужно найти угол $AOB$.
Так как угол $AOB$ часть угла $AOC$, то $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.
Выразим $\angle BOC$ через $\angle AOB$:
$\angle BOC = \frac{\angle AOB}{3}$
Подставим это в первое уравнение:
$108^\circ = \angle AOB + \frac{\angle AOB}{3}$
$108^\circ = \frac{4}{3} \cdot \angle AOB$
$\angle AOB = \frac{3}{4} \cdot 108^\circ$
$\angle AOB = 81^\circ$
55. На рисунке 44 угол $AOD$ прямой, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$. Нужно найти угол, образованный биссектрисами углов $AOB$ и $COD$.
Так как угол $AOD$ прямой, то $\angle AOD = 90^\circ$. И этот угол состоит из трёх равных углов: $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COD$. Значит, каждый из этих углов равен:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ$
Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол, образованный биссектрисой угла $AOB$, равен $\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$. То же самое с углом, образованным биссектрисой угла $COD$:
$\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$
Теперь, чтобы найти угол между этими биссектрисами, нужно сложить эти два угла и угол $BOC$:
$15^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 60^\circ$
56. На рисунке 45 луч $OV$ - биссектриса угла $ZOY$, а луч $OU$ - биссектриса угла $XOY$. Нужно найти угол $XOZ$, если $\angle UOV = 80^\circ$.
Так как $OU$ и $OV$ - биссектрисы, то $\angle UOY = \angle XOU$ и $\angle ZOV = \angle VOY$. Обозначим $\angle UOY = \angle XOU = x$, а $\angle ZOV = \angle VOY = y$.
Тогда $\angle UOV = \angle UOY + \angle VOY = x + y = 80^\circ$.
А угол $\angle XOZ = \angle XOU + \angle UOY + \angle VOY + \angle ZOV = x + x + y + y = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$.
57. Допущение: Под неразвернутым углом $hk$ имеется в виду угол меньше 180 градусов.
Если луч $l$ является биссектрисой неразвёрнутого угла $hk$, то угол $hl$ может быть только острым или прямым. Он не может быть тупым, так как биссектриса делит угол пополам, и если бы угол $hl$ был тупым, то угол $hk$ был бы развёрнутым или больше, что противоречит условию.
