Объясни, как решить задания 269-274 из учебника математики

269. Давай разберемся с опровержениями. Что значит опровергнуть? Это значит привести пример, который не соответствует утверждению. а) Утверждение: "Не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{7}$ и меньше $\frac{1}{7}$ ". Опровержение: Возьмем число $\frac{1}{7}$. Оно рациональное и равно $\frac{1}{7}$. Значит, утверждение неверно. б) Утверждение: "Не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{5}$ и меньше $\frac{1}{5}$ ". Опровержение: Возьмем число $\frac{1}{5}$. Оно рациональное и равно $\frac{1}{5}$. Значит, утверждение неверно. 270. Нужно указать несколько чисел, которые находятся между данными. Это значит, что они больше меньшего числа и меньше большего. а) Между 10 и 10,1 можно указать, например, 10,01; 10,02; 10,03; 10,04; 10,05. б) Между -0,001 и 0 можно указать, например, -0,0001; -0,0002; -0,0003; -0,0004; -0,0005. в) Между -1001 и -1000 можно указать, например, -1000,1; -1000,2; -1000,3; -1000,4; -1000,5. г) Между $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ можно указать, например, $\frac{4}{9}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{24}$; $\frac{15}{36}$; $\frac{7}{18}$. 271. По заданию нужно назвать пять чисел, заключенных между указанными числами. а) 1,3 и 1,4: 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35. б) 5 и $5\frac{1}{6}$: $5\frac{1}{12}$; $5\frac{1}{18}$; $5\frac{1}{24}$; $5\frac{1}{30}$; $5\frac{1}{36}$. в) -10 000 и -1000: -9000; -8000; -7000; -6000; -5000. г) $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$: -0,3; -0,31; -0,32; -0,33; -0,34. 272. Упростим выражения. а) $\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b) + 3a(a-b) - 2ab}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + ab + 3a^2 - 3ab - 2ab}{a^2 - b^2} = \frac{4a^2 - 4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{a+b}$. б) $(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1} = (\frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-(x-1)}{1+x} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{(x+1)^2}$. 273. Докажем утверждения. а) Квадрат четного числа есть число четное. Четное число можно представить как 2n, где n - целое число. Тогда $(2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)$. Так как $2n^2$ - целое число, то $2(2n^2)$ - четное число. б) Квадрат нечетного числа есть число нечетное. Нечетное число можно представить как 2n+1, где n - целое число. Тогда $(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$. Так как $2n^2 + 2n$ - целое число, то $2(2n^2 + 2n) + 1$ - нечетное число. 274. Найдем значения. а) |x|, если x = 10; 0,3; 0; -2,7; -9. Если x = 10, то |x| = 10. Если x = 0,3, то |x| = 0,3. Если x = 0, то |x| = 0. Если x = -2,7, то |x| = 2,7. Если x = -9, то |x| = 9. б) x, если |x| = 6; 3,2; 0. Если |x| = 6, то x = 6 или x = -6. Если |x| = 3,2, то x = 3,2 или x = -3,2. Если |x| = 0, то x = 0.