Реши примеры 269-274

269. Примеры, опровергающие утверждения: а) Допустим, самое большое рациональное число меньше $\frac{1}{7}$. Это неверно, потому что всегда можно найти число больше, например, среднее арифметическое между этим числом и $\frac{1}{7}$. б) Аналогично, если самое маленькое рациональное число больше $\frac{1}{5}$, то можно найти число меньше, например, среднее арифметическое между этим числом и $\frac{1}{5}$. 270. Несколько чисел, заключённых между заданными: а) 10,01; 10,02; 10,03; 10,04; 10,05 б) -0,0009; -0,0008; -0,0007; -0,0006; -0,0005 в) -1000,9; -1000,8; -1000,7; -1000,6; -1000,5 г) $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{3}$ 271. Пять чисел, заключённых между числами: а) 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35 б) 5$\frac{1}{7}$; 5$\frac{1}{8}$; 5$\frac{1}{9}$; 5$\frac{1}{10}$; 5$\frac{1}{11}$ в) -9999; -9998; -9997; -9996; -9995 г) $-\frac{1}{3,1}$; $-\frac{1}{3,2}$; $-\frac{1}{3,3}$; $-\frac{1}{3,4}$; $-\frac{1}{3,5}$ 272. Упрощение выражений: а) $\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b) + 3a(a-b) - 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + ab + 3a^2 - 3ab - 2ab}{a^2 - b^2} = \frac{4a^2 - 4ab}{a^2 - b^2} = \frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{a+b}$ б) $(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-(x-1)}{1+x} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{(x+1)^2}$ 273. Доказательство: а) Квадрат чётного числа: $(2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)$. Результат делится на 2, следовательно, чётное число. б) Квадрат нечётного числа: $(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$. Результат при делении на 2 даёт остаток 1, следовательно, нечётное число. 274. Нахождение $|x|$: а) Если $x = 10$, то $|x| = 10$; если $x = 0,3$, то $|x| = 0,3$; если $x = 0$, то $|x| = 0$; если $x = -2,7$, то $|x| = 2,7$; если $x = -9$, то $|x| = 9$.