Объясни, при каких значениях x имеет смысл выражение: 1) $\sqrt[6]{2x-3}$

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Чтобы выражение с корнем имело смысл, нужно, чтобы под корнем было неотрицательное число (больше или равно нулю). Ещё надо учитывать, что на ноль делить нельзя. 1) $\sqrt[6]{2x-3}$: Чтобы этот корень существовал, нужно чтобы $2x - 3 \geq 0$. Решаем это неравенство: $$2x \geq 3$$ $$x \geq \frac{3}{2}$$ Значит, $x$ должен быть больше или равен $\frac{3}{2}$ (или 1,5). 2) $\sqrt[6]{x+3}$: Тут нужно, чтобы $x + 3 \geq 0$. Решаем: $$x \geq -3$$ Значит, $x$ должен быть больше или равен -3. 3) $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$: Здесь нужно, чтобы $2x^2 - x - 1 \geq 0$. Сначала найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Для этого используем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ Теперь определим знаки квадратного выражения на интервалах. Берём значения $x$ меньше $-\frac{1}{2}$ (например, -1), между $-\frac{1}{2}$ и 1 (например, 0) и больше 1 (например, 2) и подставляем в $2x^2 - x - 1$: * При $x = -1$: $2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0$ * При $x = 0$: $2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0$ * При $x = 2$: $2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$ Значит, $2x^2 - x - 1 \geq 0$ при $x \leq -\frac{1}{2}$ и $x \geq 1$. 4) $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$: Тут сложнее. Во-первых, нужно, чтобы дробь под корнем была неотрицательной: $\frac{2-3x}{2x-4} \geq 0$. Во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 4 \neq 0$. Рассмотрим неравенство $\frac{2-3x}{2x-4} \geq 0$. Чтобы решить его, найдём значения $x$, при которых числитель или знаменатель равны нулю: * $2 - 3x = 0 \,\Rightarrow\, x = \frac{2}{3}$ * $2x - 4 = 0 \,\Rightarrow\, x = 2$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки дроби на каждом интервале: * $x < \frac{2}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{2 - 3(0)}{2(0) - 4} = \frac{2}{-4} < 0$ * $\frac{2}{3} < x < 2$ (например, $x = 1$): $\frac{2 - 3(1)}{2(1) - 4} = \frac{-1}{-2} > 0$ * $x > 2$ (например, $x = 3$): $\frac{2 - 3(3)}{2(3) - 4} = \frac{-7}{2} < 0$ Таким образом, $\frac{2-3x}{2x-4} \geq 0$ при $\frac{2}{3} \leq x < 2$. Обрати внимание, что $x$ не может быть равен 2, так как знаменатель не может быть равен нулю. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!