Объясни, как доказать неравенство 2a² - 8a + 16 > 0

Привет! Давай докажем эти неравенства. Я покажу как делать, а ты сможешь повторить с остальными. 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат: $$2(a^2 - 4a + 8) > 0$$ $$2((a - 2)^2 + 4) > 0$$ Так как $(a - 2)^2$ всегда больше или равно нулю, то $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше нуля. Значит, неравенство верно для любого $a$. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат: $$(2b + 1)^2 + 2 > 0$$ Так как $(2b + 1)^2$ всегда больше или равно нулю, то $(2b + 1)^2 + 2$ всегда больше нуля. Значит, неравенство верно для любого $b$. 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ Домножим обе части на 2: $$2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$$ $$(a^2 + 2ab + b^2) + a^2 + b^2 \ge 0$$ $$(a + b)^2 + a^2 + b^2 \ge 0$$ Сумма квадратов всегда больше или равна нулю, поэтому неравенство верно. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ Раскроем скобки и упростим: $$6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$$ $$6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$$ $$2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$$ $$2a^2 + 3 > 0$$ Так как $2a^2$ всегда больше или равно нулю, то $2a^2 + 3$ всегда больше нуля. Значит, неравенство верно для любого $a$. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ Раскроем скобки и упростим: $$a^2 - 3a > 5a - 20$$ $$a^2 - 8a + 20 > 0$$ Выделим полный квадрат: $$(a - 4)^2 + 4 > 0$$ Так как $(a - 4)^2$ всегда больше или равно нулю, то $(a - 4)^2 + 4$ всегда больше нуля. Значит, неравенство верно для любого $a$. 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$ Раскроем скобки и упростим: $$a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$$ $$a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$$ $$0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$$ $$0 \le (a + 3b)^2$$ Квадрат всегда больше или равен нулю, поэтому неравенство верно.