Можешь решить неравенство x ≤ 3 - 1/(x-1)?

Давай решим эти неравенства и уравнения по порядку! 1) $x \le 3 - \frac{1}{x-1}$ Чтобы решить это неравенство, нужно перенести все в одну сторону и привести к общему знаменателю: $x - 3 + \frac{1}{x-1} \le 0$ $\frac{(x-3)(x-1) + 1}{x-1} \le 0$ $\frac{x^2 - 4x + 4}{x-1} \le 0$ $\frac{(x-2)^2}{x-1} \le 0$ Квадрат всегда неотрицателен, поэтому $(x-2)^2 \ge 0$. Значит, чтобы дробь была меньше или равна нулю, нужно чтобы знаменатель был отрицательным: $x-1 < 0$, откуда $x < 1$. Но еще нужно учесть, что $x$ не может равняться 2, так как тогда числитель обращается в ноль, и неравенство выполняется. Решением будет: $x \in (-\infty; 1) \cup \{2\}$ 2) $\frac{x+7}{x-2} > x-2$ Перенесем все в одну сторону: $\frac{x+7}{x-2} - (x-2) > 0$ $\frac{x+7 - (x-2)^2}{x-2} > 0$ $\frac{x+7 - (x^2 - 4x + 4)}{x-2} > 0$ $\frac{-x^2 + 5x + 3}{x-2} > 0$ Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$ (не забудем поменять знак неравенства!): $\frac{x^2 - 5x - 3}{x-2} < 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 3 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$ $x_1 = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$ $x_2 = \frac{5 - \sqrt{37}}{2}$ Теперь можно записать неравенство в виде: $\frac{(x - \frac{5 + \sqrt{37}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{37}}{2})}{x-2} < 0$ Решаем методом интервалов. Отмечаем на числовой прямой точки $2$, $\frac{5 - \sqrt{37}}{2}$ и $\frac{5 + \sqrt{37}}{2}$. Расставляем знаки на интервалах и выбираем те, где выражение меньше нуля. Решением будет: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{37}}{2}) \cup (2; \frac{5 + \sqrt{37}}{2})$ 3) $y = 2 - \frac{3}{x+4}$ Чтобы найти область определения, нужно исключить значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x + 4 \neq 0$ $x \neq -4$ Область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$ 4) $y = \sqrt{x-1} - 4$ Чтобы найти область определения, нужно чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x - 1 \ge 0$ $x \ge 1$ Область определения: $x \in [1; +\infty)$ **Ответы:** 1) $x \in (-\infty; 1) \cup \{2\}$ 2) $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{37}}{2}) \cup (2; \frac{5 + \sqrt{37}}{2})$ 3) $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$ 4) $x \in [1; +\infty)$