Реши задачу: в параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найди стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH=3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. **Разбираемся с треугольником MNH** * У нас есть прямоугольный треугольник $MNH$, где угол $MNH$ равен $30^\circ$, а катет $MH = 3$ см. * Мы можем найти катет $NH$ (он же высота параллелограмма), используя тангенс угла $MNH$: $$tg(30^\circ) = \frac{MH}{NH}$$ $$NH = \frac{MH}{tg(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}$$ 2. **Находим сторону MQ** * Сторона $MQ$ состоит из двух отрезков: $MH$ и $HQ$. * $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. 3. **Находим сторону NP** * В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, $NP = MQ = 8$ см. 4. **Разбираемся с треугольником $NHQ$** * Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $NHQ$. Мы знаем $NH = 3\sqrt{3}$ и $HQ = 5$. * Мы можем найти сторону $NQ$ (она же вторая сторона параллелограмма), используя теорему Пифагора: $$NQ^2 = NH^2 + HQ^2 = (3\sqrt{3})^2 + 5^2 = 27 + 25 = 52$$ $$NQ = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ 5. **Находим сторону MP** * В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, $MP = NQ = 2\sqrt{13}$ см. 6. **Ищем углы параллелограмма** * Угол $MNQ$ можно найти через тангенс в треугольнике $NHQ$: $$tg(\angle{HNQ}) = \frac{HQ}{NH} = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9}$$ * Тогда $\angle{HNQ} = arctg(\frac{5\sqrt{3}}{9}) \approx 43,9^\circ$. * Угол $M N P= \angle{MNH} + \angle{HNQ} = 30^\circ + 43,9^\circ = 73,9^\circ$. * В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$. * Значит, угол $N M Q= 180^\circ - 73,9^\circ = 106,1^\circ$. * Противоположные углы параллелограмма равны, то есть $\angle{N P Q} = \angle{N M Q} = 106,1^\circ$ и $\angle{M N P} = \angle{M Q P} = 73,9^\circ$. **Ответ:** Стороны параллелограмма: $MQ = NP = 8$ см, $MP = NQ = 2\sqrt{13}$ см. Углы параллелограмма: $\angle{N M Q} = \angle{N P Q} = 106,1^\circ$, $\angle{M N P} = \angle{M Q P} = 73,9^\circ$.