Можешь помочь мне найти координаты вершины параболы для функций y = x² - 4x + 7 и y = -2x² - 5x-2?

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями по порядку! **Задание 150** а) $y = x^2 - 4x + 7$ Чтобы найти координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, можно воспользоваться формулами: $x_в = -\frac{b}{2a}$ $y_в = y(x_в)$ В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$. 1. Найдём $x_в$: $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ 2. Теперь найдём $y_в$, подставив $x_в = 2$ в уравнение параболы: $y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$ Итак, координаты вершины параболы: $(2; 3)$. Чтобы схематически изобразить график, нужно отметить вершину параболы в точке $(2; 3)$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии проходит через вершину параболы, то есть это вертикальная прямая $x = 2$. б) $y = -2x^2 - 5x - 2$ В этом случае $a = -2$, $b = -5$, $c = -2$. 1. Найдём $x_в$: $x_в = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1.25$ 2. Теперь найдём $y_в$, подставив $x_в = -1.25$ в уравнение параболы: $y_в = -2(-1.25)^2 - 5(-1.25) - 2 = -2 \cdot 1.5625 + 6.25 - 2 = -3.125 + 6.25 - 2 = 1.125$ Итак, координаты вершины параболы: $(-1.25; 1.125)$. В этом случае коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии проходит через вершину параболы, то есть это вертикальная прямая $x = -1.25$. **Задание 151** Дана функция $y = -x^2 + 2x + 8$. а) Найдём значения функции при заданных значениях $x$: $x = 2.5$: $y = -(2.5)^2 + 2(2.5) + 8 = -6.25 + 5 + 8 = 6.75$ $x = -0.5$: $y = -(-0.5)^2 + 2(-0.5) + 8 = -0.25 - 1 + 8 = 6.75$ $x = -3$: $y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$ б) Найдём значения аргумента $x$, при которых $y = 6, 0, -2$: $y = 6$: $-x^2 + 2x + 8 = 6$ $x^2 - 2x - 2 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$ $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{12}}{2(1)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} ≈ 2.73$ $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{12}}{2(1)} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3} ≈ -0.73$ $y = 0$: $-x^2 + 2x + 8 = 0$ $x^2 - 2x - 8 = 0$ $D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$ $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = -2$ $y = -2$: $-x^2 + 2x + 8 = -2$ $x^2 - 2x - 10 = 0$ $D = (-2)^2 - 4(1)(-10) = 4 + 40 = 44$ $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{44}}{2(1)} = \frac{2 + 2\sqrt{11}}{2} = 1 + \sqrt{11} ≈ 4.32$ $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{44}}{2(1)} = \frac{2 - 2\sqrt{11}}{2} = 1 - \sqrt{11} ≈ -2.32$ в) Нули функции и промежутки знакопостоянства: Нули функции мы уже нашли, когда $y = 0$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Теперь найдём промежутки знакопостоянства. Парабола $y = -x^2 + 2x + 8$ имеет ветви, направленные вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Значит: - $y > 0$ (функция положительна) при $-2 < x < 4$ - $y < 0$ (функция отрицательна) при $x < -2$ или $x > 4$ г) Промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции: Для определения промежутков возрастания и убывания найдём вершину параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ $y_в = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$ Вершина параболы: $(1; 9)$. - Функция возрастает при $x < 1$ - Функция убывает при $x > 1$ Множество значений функции: $y ≤ 9$ (так как ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции равно $y_в = 9$).