Можешь доказать, что для любого натурального n верно равенство n! + (n + 1)! = n! (n + 2)?

Привет! Давай попробуем доказать эти равенства с факториалами. Факториал - это когда мы умножаем число на все предыдущие числа, например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1. а) $n! + (n + 1)! = n! (n + 2)$ $(n + 1)!$ можно представить как $(n + 1) * n!$. Тогда левая часть уравнения будет: $n! + (n + 1) * n! = n! * (1 + n + 1) = n! * (n + 2)$. Это совпадает с правой частью, значит, равенство верно. б) $(n + 1)! – n! = n! * n$ Снова представим $(n + 1)!$ как $(n + 1) * n!$. Тогда левая часть: $(n + 1) * n! - n! = n! * (n + 1 - 1) = n! * n$. И это тоже верно! в) $(n - 1)! + n! + (n + 1)! = (n + 1)^2 (n - 1)!$ Представим $n!$ как $n * (n - 1)!$, а $(n + 1)!$ как $(n + 1) * n * (n - 1)!$. Тогда левая часть: $(n - 1)! + n * (n - 1)! + (n + 1) * n * (n - 1)! = (n - 1)! * (1 + n + n * (n + 1)) = (n - 1)! * (1 + n + n^2 + n) = (n - 1)! * (n^2 + 2n + 1) = (n - 1)! * (n + 1)^2$. И снова всё верно! г) $(n + 1)! – n! + (n - 1)! = (n^2 + 1) (n - 1)!$ Тут делаем так же, как и раньше. $(n + 1)! = (n + 1) * n * (n - 1)!$ и $n! = n * (n - 1)!$. Подставляем: $(n + 1) * n * (n - 1)! - n * (n - 1)! + (n - 1)! = (n - 1)! * ((n + 1) * n - n + 1) = (n - 1)! * (n^2 + n - n + 1) = (n - 1)! * (n^2 + 1)$. И опять верно! д) $\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = n^2 + n$ $(n + 1)! = (n + 1) * n * (n - 1)!$. Тогда: $\frac{(n + 1) * n * (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) * n = n^2 + n$. Ура, и это доказали! e) $\frac{(n - 1)!}{n!} - \frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{1}{n(n+1)}$ $\frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{(n - 1)!}{n * (n - 1)!} = \frac{1}{n}$ и $\frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{n!}{(n + 1) * n!} = \frac{1}{n + 1}$. Тогда: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n * (n + 1)} = \frac{1}{n * (n + 1)}$. И последнее равенство тоже верно. Вот мы и доказали все эти равенства!