Реши задачу по геометрии: Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла 4 образует со стороной ВС угол, равный 21°

Привет! Сейчас помогу тебе с геометрией. 1. Биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол $21°$. Так как $AD || BC$, то $\angle CAD = \angle BCA = 21°$ как накрест лежащие. Биссектриса делит угол пополам, значит $\angle BAC = 2 \cdot 21° = 42°$. В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$, поэтому острый угол $D = \angle BAC = 42°$. **Ответ: 42** 3. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в 2 раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 19°$. Пусть $AB = x$, тогда $AC = 2x$. Рассмотрим $\triangle ABC$. В нём $AB = x$, $AC = 2x$. Так как $AB || CD$, то $\angle BAC = \angle ACD = 19°$ как накрест лежащие. $\angle BCA = \angle CAD$. Обозначим $\angle CAD = y$. Тогда $\angle BAC + \angle CAD = 19° + y$. \angle ABC = 180° - (19° + y)$. В $\triangle ABC$ по теореме синусов $\frac{AB}{\sin \angle BCA} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$, $\frac{x}{\sin y} = \frac{2x}{\sin(161°-y)}$. Отсюда $\sin(161°-y) = 2 \sin y$. Далее, $\sin 161° \cos y - \cos 161° \sin y = 2 \sin y$, $\sin 19° \cos y + \cos 19° \sin y = 2 \sin y$, $\sin 19° \cos y = (2 - \cos 19°) \sin y$, $\tan y = \frac{\sin 19°}{2 - \cos 19°} = \frac{0,3256}{2 - 0,9455} = \frac{0,3256}{1,0545} = 0,3088$. Тогда $y = \arctan 0,3088 = 17,16°$. $\angle BAC = 19° + 17,16° = 36,16°$, $\angle ABC = 180° - 36,16° = 143,84°$. Меньший угол между диагоналями равен половине разности углов: $\frac{143,84° - 36,16°}{2} = 53,84°$. **Ответ: 53,84** (примерно) 4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $62°$, а с боковой стороной $AB$ угол $9°$. Так как трапеция равнобедренная, углы при основании равны. $\angle CAD = 62°$, $\angle BAC = 9°$, $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 9° + 62° = 71°$. Значит, $\angle CDA = 71°$. $\angle ABC = \angle BCD = 180° - 71° = 109°$. Больший угол равен $109°$. **Ответ: 109** 8. В параллелограмме один угол в два раза больше другого. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $2x$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$, то $x + 2x = 180°$, $3x = 180°$, $x = 60°$. Меньший угол равен $60°$. **Ответ: 60** 12. Площадь параллелограмма $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$, где $a$ и $b$ - стороны параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ - высоты, проведенные к этим сторонам. Дано: $S = 40$, $a = 5$, $b = 10$. Тогда $h_a = \frac{S}{a} = \frac{40}{5} = 8$, $h_b = \frac{S}{b} = \frac{40}{10} = 4$. Большая высота равна 8. **Ответ: 8** 13. В равнобедренной трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $20°$, а с боковой стороной $CD$ угол $100°$. $\angle CAD = 20°$, $\angle ACD = 100°$. В трапеции углы при основании равны, значит $\angle CDA = \angle BAD$. Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180°$, поэтому $\angle DAC + \angle ACD + \angle CDA = 180°$, $20° + 100° + \angle CDA = 180°$, $\angle CDA = 60°$. $\angle ADC = \angle BAD = 60°$. $\angle ABC = \angle BCD = 180° - 60° = 120°$. **Ответ: 120** 14. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. $AC = 10$, $BD = 22$, $AB = 9$. В точке пересечения диагонали делятся пополам, значит $AO = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$, $BO = \frac{BD}{2} = \frac{22}{2} = 11$. Рассмотрим треугольник $ABO$. Пусть $DO = x$, тогда $BD = BO + DO$, $22 = 11 + x$, $x = 11$. **Ответ: 11**