Построй математическую модель задачи: Одну из сторон квадрата увеличили на 4 дм, а другую уменьшили на 6 дм. В результате получили прямоугольник площадью 56 дм². Найди длину стороны квадрата.

Конечно, помогу! Давай решим эти задачи вместе. 1) Пусть сторона квадрата равна $x$ дм. Тогда после изменений стороны прямоугольника будут $(x + 4)$ дм и $(x - 6)$ дм. Площадь прямоугольника равна 56 дм². Получаем уравнение: $$(x + 4)(x - 6) = 56$$ Раскрываем скобки: $$x^2 - 6x + 4x - 24 = 56$$ $$x^2 - 2x - 80 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-80) = 4 + 320 = 324$$ Корни: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{2 + 18}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{2 - 18}{2} = -8$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Значит, сторона квадрата равна 10 дм. 2) Пусть велосипедист предполагал ехать со скоростью $v$ км/ч. Тогда время, которое он планировал затратить, равно $\frac{120}{v}$ часов. На самом деле он ехал со скоростью $(v - 6)$ км/ч и затратил $\frac{120}{v - 6}$ часов, что на 1 час больше, чем планировал. Получаем уравнение: $$\frac{120}{v - 6} - \frac{120}{v} = 1$$ Умножаем обе части уравнения на $v(v - 6)$: $$120v - 120(v - 6) = v(v - 6)$$ $$120v - 120v + 720 = v^2 - 6v$$ $$v^2 - 6v - 720 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-720) = 36 + 2880 = 2916$$ Корни: $$v_1 = \frac{6 + \sqrt{2916}}{2} = \frac{6 + 54}{2} = 30$$ $$v_2 = \frac{6 - \sqrt{2916}}{2} = \frac{6 - 54}{2} = -24$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Значит, велосипедист ехал со скоростью 30 - 6 = 24 км/ч. 3) Пусть пройдёт $y$ лет. Тогда возраст Гали будет $8 + y$, а возраст мамы будет $34 + y$. Нужно найти $y$, при котором возраст Гали будет в 2 раза меньше возраста мамы: $$34 + y = 2(8 + y)$$ $$34 + y = 16 + 2y$$ $$y = 34 - 16 = 18$$ Значит, через 18 лет Галя будет в 2 раза младше мамы.