Можешь доказать, что если a ≠ 0, то a² + 1/a² ≥ 2?

Question

Вопрос:

Можешь доказать, что если a ≠ 0, то a² + 1/a² ≥ 2?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства неравенства $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ при $a \neq 0$, можно использовать несколько подходов. Вот один из них: 1. **Преобразуем неравенство:** Начнем с исходного неравенства: $$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$$ Умножим обе части неравенства на $a^2$ (так как $a^2 > 0$ при $a \neq 0$, знак неравенства не изменится): $$a^4 + 1 \geq 2a^2$$ 2. **Перенесем все в одну сторону:** $$a^4 - 2a^2 + 1 \geq 0$$ 3. **Заметим полный квадрат:** Левую часть можно представить как полный квадрат: $$(a^2 - 1)^2 \geq 0$$ 4. **Анализ результата:** Квадрат любого числа всегда неотрицателен. Значит, $(a^2 - 1)^2$ всегда больше или равен нулю при любом $a$. Таким образом, неравенство выполняется. **Вывод:** Исходное неравенство $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ верно при любом $a \neq 0$. Всё доказали!

Можешь доказать, что если a ≠ 0, то a² + 1/a² ≥ 2?

Ответ ассистента

Другие решения