Вычисли значение производной функции f(x) = 5/(x²+1) в точке x₀ = 0

Конечно, сейчас помогу разобраться с этими задачками! Нам нужно найти производные функций и вычислить их значения в заданных точках. Это делается по определённым формулам и правилам. Сейчас я покажу как. a) $f(x) = \frac{5}{x^2 + 1}, x_0 = 0$ * Сначала найдем производную функции $f(x)$: $$f'(x) = 5 \cdot (\frac{-1}{(x^2+1)^2}) \cdot 2x = \frac{-10x}{(x^2+1)^2}$$ * Теперь подставим $x_0 = 0$ в производную: $$f'(0) = \frac{-10 \cdot 0}{(0^2 + 1)^2} = 0$$ б) $f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 2}, x_0 = 1$ * Найдём производную $f(x)$: $$f'(x) = \frac{(-2)(x^2+2) - (-2x)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2 - 4 + 4x^2}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2 - 4}{(x^2+2)^2}$$ * Подставим $x_0 = 1$ в производную: $$f'(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 4}{(1^2 + 2)^2} = \frac{2 - 4}{9} = \frac{-2}{9}$$ в) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}, x_0 = -1$ * Найдём производную $f(x)$: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2+3) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{8x}{(x^2+3)^2}$$ * Подставим $x_0 = -1$ в производную: $$f'(-1) = \frac{8 \cdot (-1)}{((-1)^2 + 3)^2} = \frac{-8}{(1 + 3)^2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$$ г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}, x_0 = -2$ * Найдём производную $f(x)$: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2+4) - (x^2-4)(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - 2x^3 + 8x}{(x^2+4)^2} = \frac{16x}{(x^2+4)^2}$$ * Подставим $x_0 = -2$ в производную: $$f'(-2) = \frac{16 \cdot (-2)}{((-2)^2 + 4)^2} = \frac{-32}{(4 + 4)^2} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2}$$ **Ответы:** a) $f'(0) = 0$ б) $f'(1) = -\frac{2}{9}$ в) $f'(-1) = -\frac{1}{2}$ г) $f'(-2) = -\frac{1}{2}$