Реши уравнение (x² - 7x + 10) (x2 – 5x + 6) = 0

a) Давай решим уравнение $(x^2 - 7x + 10)(x^2 - 5x + 6) = 0$. Здесь у нас произведение двух выражений равно нулю. Это значит, что хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Получаем два уравнения: 1) $x^2 - 7x + 10 = 0$ 2) $x^2 - 5x + 6 = 0$ Решим первое уравнение. Это квадратное уравнение, можно решить через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9$ $x_1 = (7 + \sqrt{9}) / 2 = (7 + 3) / 2 = 5$ $x_2 = (7 - \sqrt{9}) / 2 = (7 - 3) / 2 = 2$ Теперь решим второе уравнение также через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1$ $x_3 = (5 + \sqrt{1}) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3$ $x_4 = (5 - \sqrt{1}) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2$ Итак, корни уравнения: $x = 5, 2, 3$. б) Решим уравнение $(x^2 - x - 6)(x^2 + 2x - 15) = 0$. Как и в предыдущем примере, приравняем каждый множитель к нулю: 1) $x^2 - x - 6 = 0$ 2) $x^2 + 2x - 15 = 0$ Решим первое уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25$ $x_1 = (1 + \sqrt{25}) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3$ $x_2 = (1 - \sqrt{25}) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2$ Теперь решим второе уравнение через дискриминант: $D = (2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64$ $x_3 = (-2 + \sqrt{64}) / 2 = (-2 + 8) / 2 = 3$ $x_4 = (-2 - \sqrt{64}) / 2 = (-2 - 8) / 2 = -5$ Итак, корни уравнения: $x = 3, -2, -5$. в) Решим уравнение $x^6 - 1 = 0$. Это можно переписать как $x^6 = 1$. Чтобы решить это уравнение, можно вспомнить, что $1$ в любой чётной степени остаётся $1$. Также $(-1)$ в чётной степени тоже даёт $1$. Значит, у нас есть два очевидных решения: $x = 1$ и $x = -1$. г) Решим уравнение $x^8 - 1 = 0$. Аналогично предыдущему примеру, это можно переписать как $x^8 = 1$. Здесь также подходят $x = 1$ и $x = -1$, потому что и $1$, и $-1$ в любой чётной степени дают $1$. 2. 47 a) Давай решим уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x + 1} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, нам нужно решить уравнение $x^2 - 5x = 0$ и убедиться, что $2x + 1 \neq 0$. Сначала решим $x^2 - 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Это значит, что либо $x = 0$, либо $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$. Теперь проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю: $2x + 1 \neq 0$. Если $x = 0$, то $2 * 0 + 1 = 1 \neq 0$. Если $x = 5$, то $2 * 5 + 1 = 11 \neq 0$. Оба корня подходят. б) Решим уравнение $\frac{x^2 + 4x}{2x + x^2} = 0$. Как и в предыдущем примере, приравняем числитель к нулю и убедимся, что знаменатель не равен нулю. Решаем $x^2 + 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 4) = 0$. Значит, либо $x = 0$, либо $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$. Теперь проверим знаменатель: $2x + x^2 \neq 0$. Если $x = 0$, то $2 * 0 + 0^2 = 0$, то есть $x=0$ не подходит. Если $x = -4$, то $2 * (-4) + (-4)^2 = -8 + 16 = 8 \neq 0$. Значит, подходит только $x = -4$. в) Решим уравнение $\frac{x^2 - 5x}{2x - 6} = 1$. Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дроби, умножив обе части на $2x - 6$: $x^2 - 5x = 2x - 6$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 5x - 2x + 6 = 0$ $x^2 - 7x + 6 = 0$ Решим это уравнение через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25$ $x_1 = (7 + \sqrt{25}) / 2 = (7 + 5) / 2 = 6$ $x_2 = (7 - \sqrt{25}) / 2 = (7 - 5) / 2 = 1$ Теперь проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю: $2x - 6 \neq 0$. Если $x = 6$, то $2 * 6 - 6 = 6 \neq 0$. Если $x = 1$, то $2 * 1 - 6 = -4 \neq 0$. Оба корня подходят. г) Решим уравнение $\frac{x^2 + 17x + 72}{x + 9} = -1$. Избавимся от дроби, умножив обе части на $x + 9$: $x^2 + 17x + 72 = -1 * (x + 9)$ $x^2 + 17x + 72 = -x - 9$ Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + 17x + x + 72 + 9 = 0$ $x^2 + 18x + 81 = 0$ Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант, но здесь можно заметить, что это полный квадрат: $(x + 9)^2 = 0$. Значит, $x + 9 = 0$, откуда $x = -9$. Теперь проверим знаменатель: $x + 9 \neq 0$. Если $x = -9$, то $-9 + 9 = 0$. Получается, что $x = -9$ не подходит, так как знаменатель не может быть равен нулю. Значит, у этого уравнения нет решений.