Докажи неравенство из задания а): если a + b ≥ 0, то a³+b³ ≥ a²b+ ab²

Question

Вопрос:

Докажи неравенство из задания а): если a + b ≥ 0, то a³+b³ ≥ a²b+ ab²

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Сейчас докажу неравенство из задания а). Если $a + b \ge 0$, то $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$. Разложим обе части неравенства на множители: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) \ge ab(a + b)$. Перенесем всё в левую часть: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) \ge 0$. Вынесем $(a + b)$ за скобки: $(a + b)(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$. Заметим, что $(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^2$. Тогда: $(a + b)(a - b)^2 \ge 0$. $(a - b)^2$ всегда больше или равно нулю, так как это квадрат. По условию, $(a + b) \ge 0$. Значит, произведение $(a + b)(a - b)^2$ тоже больше или равно нулю. ЧТД. *Перевод: I will now prove the inequality from task a). If $a + b \ge 0$, then $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$.*

Докажи неравенство из задания а): если a + b ≥ 0, то a³+b³ ≥ a²b+ ab²

Ответ ассистента

Другие решения