Реши задачи по геометрии: 1. В треугольнике ABC, AC=3, BC=5, AB=6. Найди cos(∠ACB).

1. Для нахождения $\cos(\angle ACB)$ используем теорему косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$. Подставляем известные значения: $6^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ACB)$. Решаем уравнение относительно $\cos(\angle ACB)$. $\cos(\angle ACB) = \frac{3^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 36}{30} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}$ **Ответ:** $\cos(\angle ACB) = -\frac{1}{15}$ 2. Используем теорему косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$. Подставляем значения: $AB^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $AB^2 = 144 + 100 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 244 - 120 = 124$. **Ответ:** $AB^2 = 124$ 3. Используем теорему косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$. Подставляем значения: $AC = 7\sqrt{3}$, $BC = 1$, $\angle C = 150^\circ$. Тогда $AB^2 = (7\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(150^\circ)$. Учитываем, что $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $AB^2 = 49 \cdot 3 + 1 - 14\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 147 + 1 + 14 \cdot \frac{3}{2} = 148 + 21 = 169$. $AB = \sqrt{169} = 13$. **Ответ:** $AB = 13$ см 4. Используем теорему синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. Известно, что $AB = \sqrt{2}$ и $\angle ACB = 45^\circ$. Тогда $\frac{\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = 2R$. Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$, $2 = 2R$, $R = 1$. **Ответ:** $R = 1$ 5. Используем теорему синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. Известно, что $AB = 2\sqrt{3}$ и $\angle ACB = 60^\circ$. Тогда $\frac{2\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = 2R$. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$, $4 = 2R$, $R = 2$. **Ответ:** $R = 2$ 6. Используем теорему синусов: $\frac{AC}{\sin(B)} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. Известно, что $\sin(B) = 0{,}55$ и $R = 5$. Тогда $\frac{AC}{0{,}55} = 2 \cdot 5$, $AC = 0{,}55 \cdot 10 = 5{,}5$. **Ответ:** $AC = 5{,}5$ 7. Хорда, на которую опирается угол $120^\circ$, может быть найдена с использованием теоремы косинусов. Пусть $a$ - длина хорды, $R$ - радиус окружности, тогда $a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$. Известно, что $R = \sqrt{3}$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. $a^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 + 3 + 3 = 9$. $a = \sqrt{9} = 3$. **Ответ:** $a = 3$ II) Задачи на теорему площади треугольника 1. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $\gamma$ - угол между ними. а) На рисунке дан треугольник со сторонами 5 и 4 и углом $30^\circ$ между ними. Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 5$. **Ответ:** $S = 5$ б) На рисунке дан треугольник со сторонами 6 и 6 и углом $120^\circ$ между ними. Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$. **Ответ:** $S = 9\sqrt{3}$ в) На рисунке дан равнобедренный треугольник (боковые стороны по 5), углы при основании равны $15^\circ$. Тогда угол между боковыми сторонами равен $180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$. Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4} = 6{,}25$. **Ответ:** $S = 6{,}25$