Ты просишь упростить выражения и доказать тождество из варианта 1

Привет! Конечно, помогу тебе с этими заданиями. Сейчас разберём каждое по порядку, чтобы было понятно, что к чему. 1. Упростить: $\left(\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2}\right) : \frac{12a^2}{4-a^2}$ Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю: $$\frac{(a-2)^2 - (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{a^2 - 4a + 4 - (a^2 + 4a + 4)}{a^2 - 4} = \frac{-8a}{a^2 - 4}$$ Теперь разделим на дробь, что равносильно умножению на обратную дробь: $$\frac{-8a}{a^2 - 4} : \frac{12a^2}{4-a^2} = \frac{-8a}{a^2 - 4} \cdot \frac{4-a^2}{12a^2} = \frac{-8a}{a^2 - 4} \cdot \frac{-(a^2 - 4)}{12a^2} = \frac{8a(a^2 - 4)}{12a^2(a^2 - 4)} = \frac{2}{3a}$$ **Ответ: $\frac{2}{3a}$** 2. Упростить: $\frac{5a}{a+3} + \frac{a-6}{3a+9} \cdot \frac{135}{6a-a^2}$ Сначала упростим второе слагаемое: $$\frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)} = \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{-a(a-6)} = \frac{1}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{-a} = \frac{45}{-a(a+3)}$$ Теперь сложим с первым слагаемым: $$\frac{5a}{a+3} - \frac{45}{a(a+3)} = \frac{5a^2 - 45}{a(a+3)} = \frac{5(a^2 - 9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)}{a}$$ **Ответ: $\frac{5(a-3)}{a}$** 3. Упростить: $\left(\frac{a}{a-4} - \frac{a}{a+4} - \frac{a^2+16}{16-a^2}\right) : \frac{4a+a^2}{(4-a)^2}$ Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю: $$\frac{a(a+4) - a(a-4) + (a^2+16)}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2 + 4a - a^2 + 4a + a^2 + 16}{16 - a^2} = \frac{a^2 + 8a + 16}{16 - a^2} = \frac{(a+4)^2}{16 - a^2} = \frac{(a+4)^2}{(4-a)(4+a)} = \frac{a+4}{4-a}$$ Теперь разделим на дробь, что равносильно умножению на обратную дробь: $$\frac{a+4}{4-a} : \frac{4a+a^2}{(4-a)^2} = \frac{a+4}{4-a} \cdot \frac{(4-a)^2}{a(4+a)} = \frac{(a+4)(4-a)^2}{a(4-a)(4+a)} = \frac{4-a}{a}$$ **Ответ: $\frac{4-a}{a}$** 4. Докажите тождество: $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2} = \frac{3}{1-b}$ Сначала преобразуем левую часть: $$\frac{b+2}{(b-1)^2} : \frac{(b-2)(b+2)}{3(b-1)} - \frac{3}{b-2} = \frac{b+2}{(b-1)^2} \cdot \frac{3(b-1)}{(b-2)(b+2)} - \frac{3}{b-2} = \frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3}{b-2}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{3 - 3(b-1)}{(b-1)(b-2)} = \frac{3 - 3b + 3}{(b-1)(b-2)} = \frac{6 - 3b}{(b-1)(b-2)} = \frac{-3(b-2)}{(b-1)(b-2)} = \frac{-3}{b-1} = \frac{3}{1-b}$$ Так как левая часть равна правой, тождество доказано. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если возникнут ещё вопросы, не стесняйся спрашивать!