Помоги решить задачи 64-73, сравни числа, вычисли выражения, разложи на множители и сократи дробь

64. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, разложим на множители: 1) $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. 2) $y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1)$. 3) $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$. 4) $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$. 5) $4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$. 6) $0{,}01m - n^{\frac{1}{6}} = (0{,}1\sqrt{m} - \sqrt{n^{\frac{1}{6}}})(0{,}1\sqrt{m} + \sqrt{n^{\frac{1}{6}}}) = (0{,}1\sqrt{m} - n^{\frac{1}{12}})(0{,}1\sqrt{m} + n^{\frac{1}{12}})$. 65. Разложим на множители, используя формулу суммы или разности кубов: 1) $a - x = -(x - a)$. 2) $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. 3) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. 4) $27a + c^3 = (3\sqrt[3]{a} + c)(9 \sqrt[3]{a^2} - 3\sqrt[3]{a}c + c^2)$. 66. Сократим дробь: 1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^4 - b^4} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a + b)(a^2 + b^2)} = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a + b)(a^2 + b^2)}$. 2) $\frac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{m + 2\sqrt{mn} + n} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2} = \frac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$. 3) $\frac{c - 2c^2 + 1}{\sqrt{c} - 1} = \frac{-2c^2 + c + 1}{\sqrt{c} - 1} = \frac{-(c - 1)(2c + 1)}{\sqrt{c} - 1} = \frac{-(\sqrt{c} - 1)(\sqrt{c} + 1)(2c + 1)}{\sqrt{c} - 1} = -(\sqrt{c} + 1)(2c + 1)$. 67. Упростим выражение: $\frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{c^{\frac{3}{2}}(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + cb^{\frac{1}{2}}(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{c - b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb}{c - b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{c^2 + cb + 2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{3c^2 - 3cb}{c - b} = \frac{3c(c - b)}{c - b} = 3c$. 68. Вычислим: 1) $2\sqrt{5} \cdot 2^{- \sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 2^0 = 1$. 2) $32^{\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}} = \frac{32^{\sqrt{2}}}{9^{\sqrt{2}}} = (\frac{32}{9})^{\sqrt{2}}$. 3) $(5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^3 = 125$. 4) $((0{,}5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (0{,}5)^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = (0{,}5)^2 = 0{,}25$. 69. Вычислим: 1) $2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}} = 2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} = 2^{2 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = 2^2 = 4$. 2) $3^{1 + 2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}} = \frac{3^{1 + 2\sqrt{2}}}{9^{\sqrt{2}}} = \frac{3^{1 + 2\sqrt{2}}}{(3^2)^{\sqrt{2}}} = \frac{3^{1 + 2\sqrt{2}}}{3^{2\sqrt{2}}} = 3^{1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 3^1 = 3$. 3) $(5^{1 + \sqrt{2}})^{1 - \sqrt{2}} = 5^{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = 5^{1 - 2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. 4) $(5^{1 - \sqrt{5}})^{1 + \sqrt{5}} - (\sqrt{5})^0 = 5^{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} - 1 = 5^{1 - 5} - 1 = 5^{-4} - 1 = \frac{1}{5^4} - 1 = \frac{1}{625} - 1 = -\frac{624}{625}$. 70. Вычислим: 1) $2^{1 - 2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 2^{1 - 2\sqrt{2}} \cdot (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{1 - 2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 2^{1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 2^1 = 2$. 2) $3^{2 - \sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}} = 3^{2 - \sqrt{3}} \cdot (3^3)^{\sqrt{3}} = 3^{2 - \sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}} = 3^{2 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = 3^{2 + 2\sqrt{3}}$. 3) $9^{1 + \sqrt{3}} : 3^{1 - \sqrt{3}} \cdot 3^{-2 - \sqrt{3}} = \frac{(3^2)^{1 + \sqrt{3}}}{3^{1 - \sqrt{3}}} \cdot 3^{-2 - \sqrt{3}} = \frac{3^{2 + 2\sqrt{3}}}{3^{1 - \sqrt{3}}} \cdot 3^{-2 - \sqrt{3}} = 3^{2 + 2\sqrt{3} - (1 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3}} = 3^{2 + 2\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}} = 3^{-1 + 2\sqrt{3}}$. 4) $4^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 - \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 - \sqrt{2}} = (2^2)^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 - \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 - \sqrt{2}} = 2^{6 + 2\sqrt{2}} \cdot 2^{1 - \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 - \sqrt{2}} = 2^{6 + 2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} - 4 - \sqrt{2}} = 2^3 = 8$. 71. Вычислим: 1) $\frac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = \frac{(2 \cdot 5)^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = \frac{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} = 5^{2 + \sqrt{7} - 1 - \sqrt{7}} = 5^1 = 5$. 2) $\frac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = \frac{(2 \cdot 3)^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = \frac{2^{3 + \sqrt{5}} \cdot 3^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} = 2^{3 + \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5}} \cdot 3^{3 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5}} = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$. 3) $(25^{1 + \sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1 - 2\sqrt{2}} = (5^{2 + 2\sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1 - 2\sqrt{2}} = 5^{2 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}} = 5^1 - 5^{-1} = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$. 4) $(2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = (2^{2\sqrt{3}} - 2^{2(\sqrt{3} - 1)}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}} = 2^0 - 2^{-2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. 72. Сравним числа: 1) $3^{\sqrt{71}}$ или $3^{\sqrt{69}}$? Так как $\sqrt{71} > \sqrt{69}$, то $3^{\sqrt{71}} > 3^{\sqrt{69}}$. 2) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$? Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}} < (\frac{1}{3})^{\sqrt{2}}$. 3) $4^{-\sqrt{3}}$ или $4^{-\sqrt{2}}$? Так как $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$, то $4^{-\sqrt{3}} > 4^{-\sqrt{2}}$. 4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1{,}7}$? Так как $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1{,}7$, то $2^{\sqrt{3}} > 2^{1{,}7}$. 5) $(\frac{1}{2})^{1{,}4}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$? Так как $1{,}4 < \sqrt{2} \approx 1{,}41$, то $(\frac{1}{2})^{1{,}4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$. 6) $(\frac{1}{9})^{\pi}$ или $(\frac{1}{9})^{3{,}14}$? Так как $\pi \approx 3{,}1415 > 3{,}14$, то $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3{,}14}$. 73. Сравним число с единицей: 1) $2^2 = 4 > 1$. 2) $(0{,}013)^{-1} = \frac{1}{0{,}013} > 1$. 3) $(\frac{2}{7})^5 < 1$, так как $\frac{2}{7} < 1$. 4) $27^{1{,}5} > 1$, так как $27 > 1$ и $1{,}5 > 0$. 5) $2^{-\sqrt{5}} = \frac{1}{2^{\sqrt{5}}} < 1$, так как $2^{\sqrt{5}} > 1$. 6) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$, так как $\frac{1}{2} < 1$. 7) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5} - 2}$? Так как $\pi \approx 3{,}14$, то $\frac{\pi}{4} < 1$, $\sqrt{5} \approx 2{,}23$, то $\sqrt{5} - 2 > 0$. Значит, $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5} - 2} < 1$. 8) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8} - 3}$? Так как $\sqrt{8} \approx 2{,}83 < 3$, то $\sqrt{8} - 3 < 0$, значит, $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8} - 3} > 1$.