Реши уравнение 3x + y = 1, а также реши системы уравнений из задания 25-33

24. Давай проверим каждую пару чисел, подставляя их в уравнение $-3x + y = 1$. Если равенство выполняется, то это решение. * (2; 3): $-3 * 2 + 3 = -6 + 3 = -3$. $-3 \ne 1$, значит, (2; 3) не решение. * (-1; 4): $-3 * (-1) + 4 = 3 + 4 = 7$. $7 \ne 1$, значит, (-1; 4) не решение. * (2; 7): $-3 * 2 + 7 = -6 + 7 = 1$. $1 = 1$, значит, (2; 7) решение. **Ответ: (2; 7) является решением уравнения** 25. Решим системы уравнений способом подстановки. 1) Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 1 - 5x$. Подставим в первое уравнение: $$2x + 5(1 - 5x) = 28$$ $$2x + 5 - 25x = 28$$ $$-23x = 23$$ $$x = -1$$ Тогда $y = 1 - 5 * (-1) = 1 + 5 = 6$. 2) Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 3x + 1$. Подставим во второе уравнение: $$2x - 3(3x + 1) = 11$$ $$2x - 9x - 3 = 11$$ $$-7x = 14$$ $$x = -2$$ Тогда $y = 3 * (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$. **Ответ: 1) x = -1, y = 6; 2) x = -2, y = -5** 26. Решим системы уравнений способом сложения. 1) Чтобы решить систему сложением, надо чтобы при сложении одно из слагаемых сократилось. Домножим первое уравнение на 5, а второе на -3: $$\begin{cases} 15x - 40y = -45 \\ -15x + 6y = 57 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$-34y = 12$$ $$y = -\frac{12}{34} = -\frac{6}{17}$$ Подставим $y$ в первое уравнение: $$3x - 8(-\frac{6}{17}) = -9$$ $$3x + \frac{48}{17} = -9$$ $$3x = -9 - \frac{48}{17}$$ $$3x = -\frac{153}{17} - \frac{48}{17}$$ $$3x = -\frac{201}{17}$$ $$x = -\frac{67}{17}$$ 2) Чтобы решить систему сложением, надо чтобы при сложении одно из слагаемых сократилось. Домножим первое уравнение на 4, а второе на 3: $$\begin{cases} -16x + 24y = 4 \\ 9x - 24y = -18 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$-7x = -14$$ $$x = 2$$ Подставим $x$ в первое уравнение: $$-4 * 2 + 6y = 1$$ $$-8 + 6y = 1$$ $$6y = 9$$ $$y = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$$ **Ответ: 1) $x = -\frac{67}{17}$, $y = -\frac{6}{17}$; 2) $x = 2$, $y = 1,5$** 27. Давай решим эту задачу по шагам. Пусть Катя читала $x$ страниц в день, а Настя - $y$ страниц в день. Тогда: * Всего Катя прочитала $5x$ страниц, а Настя - $4y$ страниц. * Из условия задачи мы знаем, что $5x = 4y + 20$ (так как у Кати на 20 страниц больше). * И еще мы знаем, что $5x + 4y = 580$ (так как вместе они прочитали 580 страниц). Теперь у нас есть два уравнения: $$\begin{cases} 5x = 4y + 20 \\ 5x + 4y = 580 \end{cases}$$ Подставим первое уравнение во второе: $$4y + 20 + 4y = 580$$ $$8y = 560$$ $$y = 70$$ Теперь найдем $x$: $$5x = 4 * 70 + 20$$ $$5x = 280 + 20$$ $$5x = 300$$ $$x = 60$$ **Ответ: Катя читала 60 страниц в день, а Настя - 70 страниц в день.** 28. Давай обозначим первое число как $x$, а второе как $y$. Тогда из условия задачи мы можем составить два уравнения: $$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \\ x + 2y = 26 \end{cases}$$ Решим эту систему уравнений. Выразим $x$ из второго уравнения: $$x = 26 - 2y$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$\frac{26 - 2y}{2} + \frac{y}{3} = 1$$ $$13 - y + \frac{y}{3} = 1$$ $$-\frac{2}{3}y = -12$$ $$y = 18$$ Теперь найдем $x$: $$x = 26 - 2 * 18$$ $$x = 26 - 36$$ $$x = -10$$ **Ответ: Первое число -10, второе число 18.** 29. Давай разберемся. Контролер планировал проверять партию приборов за 5 часов, то есть его плановая скорость - $\frac{x}{5}$ приборов в час, где $x$ - общее количество приборов в партии. Фактически он проверял на 13 приборов в час меньше, то есть его фактическая скорость - $(\frac{x}{5} - 13)$ приборов в час. За 6 часов он проверил $6(\frac{x}{5} - 13)$ приборов и осталось проверить еще 30 приборов. Получаем уравнение: $$6(\frac{x}{5} - 13) + 30 = x$$ $$\frac{6x}{5} - 78 + 30 = x$$ $$\frac{6x}{5} - 48 = x$$ $$\frac{x}{5} = 48$$ $$x = 240$$ **Ответ: В партии было 240 приборов.** 30. Давай посчитаем. Пусть в первом диктанте было $x$ слов, тогда во втором $x + 40$ слов. Всего слов в двух диктантах $x + (x + 40) = 2x + 40$. Неправильно Антон написал 7% слов от общего количества, то есть $0,07(2x + 40)$. В первом диктанте правильно было написано $0,9x$ слов, а во втором $0,95(x + 40)$ слов. Вместе правильно написано $0,9x + 0,95(x + 40)$ слов. Получаем уравнение: $$0,9x + 0,95(x + 40) + 0,07(2x + 40) = 2x + 40$$ $$0,9x + 0,95x + 38 + 0,14x + 2,8 = 2x + 40$$ $$1,99x + 40,8 = 2x + 40$$ $$0,01x = 0,8$$ $$x = 80$$ Тогда в первом диктанте было 80 слов, а во втором $80 + 40 = 120$ слов. **Ответ: В первом диктанте было 80 слов, во втором - 120 слов.** 31. Решим уравнения: 1) $3x - 2y = 1$. Это уравнение с двумя переменными, у него бесконечно много решений. Например, если $x = 1$, то $y = 1$. 2) $4x + 3y = 2$. Это уравнение с двумя переменными, у него бесконечно много решений. Например, если $x = -1$, то $y = 2$. 32. **Допущение:** Нужно найти все возможные варианты. Предположим, что у нас $x$ бригад по 6 человек и $y$ бригад по 8 человек. Тогда общее количество рабочих можно выразить так: $$6x + 8y = 50$$ Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти все возможные целые положительные решения для $x$ и $y$. Давай попробуем разные варианты: * Если $x = 1$, то $6 * 1 + 8y = 50$, $8y = 44$, $y = 5,5$ (не подходит, так как $y$ должно быть целым числом). * Если $x = 2$, то $6 * 2 + 8y = 50$, $12 + 8y = 50$, $8y = 38$, $y = 4,75$ (не подходит). * Если $x = 3$, то $6 * 3 + 8y = 50$, $18 + 8y = 50$, $8y = 32$, $y = 4$ (подходит!). * Если $x = 4$, то $6 * 4 + 8y = 50$, $24 + 8y = 50$, $8y = 26$, $y = 3,25$ (не подходит). * Если $x = 5$, то $6 * 5 + 8y = 50$, $30 + 8y = 50$, $8y = 20$, $y = 2,5$ (не подходит). * Если $x = 6$, то $6 * 6 + 8y = 50$, $36 + 8y = 50$, $8y = 14$, $y = 1,75$ (не подходит). * Если $x = 7$, то $6 * 7 + 8y = 50$, $42 + 8y = 50$, $8y = 8$, $y = 1$ (подходит!). * Если $x = 8$, то $6 * 8 + 8y = 50$, $48 + 8y = 50$, $8y = 2$, $y = 0,25$ (не подходит). Итак, у нас есть два возможных варианта: * 3 бригады по 6 человек и 4 бригады по 8 человек. Всего $3 + 4 = 7$ бригад. * 7 бригад по 6 человек и 1 бригада по 8 человек. Всего $7 + 1 = 8$ бригад. **Ответ: Может получиться либо 7 бригад, либо 8 бригад.** 33. Решим системы уравнений: 1) Выразим $x$ из первого уравнения: $x - 3y = 5 - 0.2x - 20y$\n$1.2x = 5 - 17y$\n$x = \frac{5 - 17y}{1.2}$ Подставим во второе уравнение: $0.5x - y = 2 - x - 20y$\n$1.5x = 2 - 19y$\n$1.5 * \frac{5 - 17y}{1.2} = 2 - 19y$\n$\frac{7.5 - 25.5y}{1.2} = 2 - 19y$\n$7.5 - 25.5y = 2.4 - 22.8y$\n$5.1 = 2.7y$\n$y = \frac{5.1}{2.7} = \frac{17}{9}$ Теперь найдем $x$: $x = \frac{5 - 17 * \frac{17}{9}}{1.2} = \frac{5 - \frac{289}{9}}{1.2} = \frac{\frac{45 - 289}{9}}{1.2} = \frac{\frac{-244}{9}}{1.2} = -\frac{244}{9 * 1.2} = -\frac{244}{10.8} = -\frac{610}{27}$ 2) Выразим $x$ из первого уравнения: $2x - 5 = 1 - x + 2y$\n$3x = 6 + 2y$\n$x = 2 + \frac{2}{3}y$ Подставим во второе уравнение: $14x - 5 = 9x - 3y - 2$\n$5x = 3 - 3y$\n$5(2 + \frac{2}{3}y) = 3 - 3y$\n$10 + \frac{10}{3}y = 3 - 3y$\n$\frac{19}{3}y = -7$\n$y = -\frac{21}{19}$ Теперь найдем $x$: $x = 2 + \frac{2}{3} * (-\frac{21}{19}) = 2 - \frac{14}{19} = \frac{38 - 14}{19} = \frac{24}{19}$ 3) Выразим $y$ из второго уравнения: $-8x + y = 12$\n$y = 8x + 12$ Подставим в первое уравнение: $7x - 3y = -2$\n$7x - 3(8x + 12) = -2$\n$7x - 24x - 36 = -2$\n$-17x = 34$\n$x = -2$ Теперь найдем $y$: $y = 8 * (-2) + 12 = -16 + 12 = -4$ 4) Умножим первое уравнение на 2: $x + 6y = 3$\n$x = 3 - 6y$ Подставим во второе уравнение: $0.5x - 2y = 4$\n$0.5(3 - 6y) - 2y = 4$\n$1.5 - 3y - 2y = 4$\n$-5y = 2.5$\n$y = -0.5$ Теперь найдем $x$: $x = 3 - 6 * (-0.5) = 3 + 3 = 6$ 5) Домножим первое уравнение на -2: $$\begin{cases} -8x + 6y = 6 \\ -10x - 6y = -3 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $-18x = 3$\n$x = -\frac{1}{6}$ Подставим в первое уравнение: $4 * (-\frac{1}{6}) - 3y = -3$\n$-\frac{2}{3} - 3y = -3$\n$-3y = -\frac{7}{3}$\n$y = \frac{7}{9}$ 6) Выразим $y$ из первого уравнения: $10x + 3y = 0.1$\n$3y = 0.1 - 10x$\n$y = \frac{0.1 - 10x}{3}$ Подставим во второе уравнение: $7x - 2y = -1.3$\n$7x - 2 * \frac{0.1 - 10x}{3} = -1.3$\n$7x - \frac{0.2 - 20x}{3} = -1.3$\n$21x - 0.2 + 20x = -3.9$\n$41x = -3.7$\n$x = -\frac{37}{410}$ Теперь найдем $y$: $y = \frac{0.1 - 10 * (-\frac{37}{410})}{3} = \frac{0.1 + \frac{37}{41}}{3} = \frac{\frac{4.1 + 37}{41}}{3} = \frac{\frac{41.1}{41}}{3} = \frac{411}{41 * 30} = \frac{137}{410}$ **Ответ: 1) $x = -\frac{610}{27}$, $y = \frac{17}{9}$; 2) $x = \frac{24}{19}$, $y = -\frac{21}{19}$; 3) $x = -2$, $y = -4$; 4) $x = 6$, $y = -0.5$; 5) $x = -\frac{1}{6}$, $y = \frac{7}{9}$; 6) $x = -\frac{37}{410}$, $y = \frac{137}{410}$**