Прочитай символическую запись, выполни рисунок и докажи: (α ∩ β = a, P ∈ a, Q ∉ β) ⇒ PQ ∉ β

Question

Вопрос:

Прочитай символическую запись, выполни рисунок и докажи: (α ∩ β = a, P ∈ a, Q ∉ β) ⇒ PQ ∉ β

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Сделаем рисунок и докажем утверждение. Представь, что у тебя есть две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $a$. Возьмем точку $P$, которая лежит на прямой $a$ (а значит, и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$). А ещё у нас есть точка $Q$, которая лежит в плоскости $\beta$, но не лежит на прямой $a$. Проведём прямую $PQ$. Нужно доказать, что эта прямая не лежит в плоскости $\beta$ полностью. Допустим, что $PQ$ лежит в $\beta$. Тогда точка $P$ лежит в $\beta$ (по условию), и точка $Q$ лежит в $\beta$ (по условию). Значит, вся прямая $PQ$ лежит в $\beta$ (потому что через две точки можно провести только одну прямую). Но тогда получается, что точка $P$ должна лежать и на прямой $a$ (потому что $P$ принадлежит $\alpha$ и $\beta$, а $a$ - линия пересечения этих плоскостей), и на прямой $PQ$. То есть, прямые $a$ и $PQ$ пересекаются. А раз так, то точка $Q$ тоже должна лежать на прямой $a$, что противоречит условию (сказано, что $Q$ не принадлежит $a$). Значит, наше допущение неверно, и прямая $PQ$ не лежит в плоскости $\beta$.

Прочитай символическую запись, выполни рисунок и докажи: (α ∩ β = a, P ∈ a, Q ∉ β) ⇒ PQ ∉ β

Ответ ассистента

Другие решения