Помоги мне найти отношение площадей четырёхугольников ABTM и HKC в прямоугольном треугольнике ABC, если AM:MH:HC=3:2:2

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Обозначим стороны и площади: $S_{ABTM}$ – площадь четырёхугольника ABTM, $S_{HKC}$ – площадь четырёхугольника HKC. **Допущение:** Пусть $AB = a$, $BC = b$, и пусть $AC = 7x$ (потому что $3 + 2 + 2 = 7$). Тогда $AM = 3x$, $MH = 2x$, $HC = 2x$. 1. Найдём $BT$ и $BK$: Так как $MT \parallel AB$ и $HK \parallel AB$, то треугольники $CMT$ и $CHK$ подобны треугольнику $CBA$. Из подобия треугольников имеем: $\frac{CT}{BC} = \frac{CM}{CA} = \frac{AM + MH}{AC} = \frac{3x + 2x}{7x} = \frac{5}{7}$. Значит, $CT = \frac{5}{7}b$, тогда $BT = BC - CT = b - \frac{5}{7}b = \frac{2}{7}b$. Аналогично, $\frac{CK}{BC} = \frac{CH}{CA} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7}$. Значит, $CK = \frac{2}{7}b$, тогда $BK = BC - CK = b - \frac{2}{7}b = \frac{5}{7}b$. 2. Выразим площади: $S_{ABTM} = S_{ABC} - S_{CMT} = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2} \cdot MT \cdot CT$. Так как $MT = \frac{CM}{CA} \cdot AB = \frac{5}{7}a$, то $S_{ABTM} = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7}a \cdot \frac{5}{7}b = \frac{1}{2}ab - \frac{25}{98}ab = \frac{49-25}{98}ab = \frac{24}{98}ab = \frac{12}{49}ab$. $S_{HKC} = \frac{1}{2} \cdot HK \cdot KC$. Так как $HK = \frac{CH}{CA} \cdot AB = \frac{2}{7}a$, то $S_{HKC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7}a \cdot \frac{2}{7}b = \frac{4}{98}ab = \frac{2}{49}ab$. 3. Найдём отношение площадей: $\frac{S_{ABTM}}{S_{HKC}} = \frac{\frac{12}{49}ab}{\frac{2}{49}ab} = \frac{12}{2} = 6$. **Ответ:** 6