Реши и расставь знаки на числовой прямой для неравенства 1/(x(x+1)) + 1/((x+1)(x+2)) + 1/((x+2)(x+3)) ≤ 3/4

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Оно выглядит страшновато, но мы справимся! $$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4}$$ 1. **Упростим левую часть.** Заметим, что каждую дробь можно разложить на разность двух дробей: $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$ $$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$$ $$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$$ 2. **Подставим эти разности в неравенство:** $$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \le \frac{3}{4}$$ 3. **Сократим одинаковые дроби с разными знаками:** $$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} \le \frac{3}{4}$$ 4. **Приведем левую часть к общему знаменателю:** $$\frac{(x+3) - x}{x(x+3)} \le \frac{3}{4}$$ $$\frac{3}{x(x+3)} \le \frac{3}{4}$$ 5. **Упростим неравенство, разделив обе части на 3:** $$\frac{1}{x(x+3)} \le \frac{1}{4}$$ 6. **Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:** $$\frac{1}{x(x+3)} - \frac{1}{4} \le 0$$ $$\frac{4 - x(x+3)}{4x(x+3)} \le 0$$ $$\frac{4 - x^2 - 3x}{4x(x+3)} \le 0$$ $$\frac{-x^2 - 3x + 4}{4x(x+3)} \le 0$$ 7. **Умножим обе части на -1 (знак неравенства меняется):** $$\frac{x^2 + 3x - 4}{4x(x+3)} \ge 0$$ 8. **Разложим числитель на множители:** $$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$$ 9. **Получим неравенство:** $$\frac{(x+4)(x-1)}{4x(x+3)} \ge 0$$ 10. **Найдем нули числителя и знаменателя:** - $x+4 = 0 \,\Rightarrow\, x = -4$ - $x-1 = 0 \,\Rightarrow\, x = 1$ - $x = 0$ - $x+3 = 0 \,\Rightarrow\, x = -3$ 11. **Нарисуем числовую прямую и отметим эти точки (нули знаменателя выкалываем):** ----(-4)----(-3)----(0)----(1)----> X 12. **Расставим знаки на числовой прямой, подставляя значения из каждого интервала в неравенство:** - $x < -4$: (+)/(-)(-) = + (положительно) - $-4 < x < -3$: (-)/(-)(-) = - (отрицательно) - $-3 < x < 0$: (-)/(+)(-) = + (положительно) - $0 < x < 1$: (-)/(+)(+) = - (отрицательно) - $x > 1$: (+)/(+)(+) = + (положительно) 13. **Выберем интервалы, где неравенство больше или равно нулю (с учетом знака $\ge$):** $$(-\infty; -4] \cup (-3; 0) \cup [1; +\infty)$$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 0) \cup [1; +\infty)$