Ты просишь решить задачи 18 и 19: доказать, что при любом значении переменной дробь положительна, отрицательна, неотрицательна или неположительна; и определить, при каком значении 'a' дробь принимает наибольшее значение.

Привет! Давай решим эти задания вместе. **18. Докажем, что при любом значении переменной значение дроби:** * **a) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно;** Смотри, $x^2$ всегда больше или равно нулю, потому что любое число в квадрате не может быть отрицательным. Значит, $x^2 + 1$ всегда больше нуля. А если мы делим положительное число (3) на положительное число ($x^2 + 1$), то результат всегда будет положительным. * **б) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно;** Опять же, $y^2$ всегда больше или равно нулю. Значит, $y^2 + 4$ всегда больше нуля. Но у нас в числителе отрицательное число (-5). Когда мы делим отрицательное число на положительное, результат всегда будет отрицательным. * **в) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно;** $(a - 1)^2$ всегда больше или равно нулю, потому что это квадрат. $a^2 + 10$ тоже всегда больше нуля, потому что $a^2$ не может быть отрицательным, и мы прибавляем к нему 10. Значит, мы делим неотрицательное число на положительное, и результат будет неотрицательным (то есть, больше или равен нулю). * **г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно.** $(b - 3)^2$ всегда больше или равно нулю, потому что это квадрат. $-b^2$ всегда меньше или равно нулю, потому что $b^2$ всегда больше или равно нулю, а мы берем его с минусом. Значит, $-b^2 - 1$ всегда меньше нуля. Когда мы делим неотрицательное число на отрицательное, результат будет неположительным (то есть, меньше или равен нулю). **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** * **a) $\frac{4}{a^2 + 5}$;** Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. $a^2$ всегда больше или равно нулю. Значит, наименьшее значение $a^2$ это 0. Тогда знаменатель будет $0 + 5 = 5$. Чтобы $a^2$ было равно 0, $a$ должно быть равно 0. **Ответ: $a = 0$** * **б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$?** Здесь тоже нужно, чтобы знаменатель был наименьшим. $(a - 3)^2$ всегда больше или равно нулю. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ это 0. Тогда знаменатель будет $0 + 1 = 1$. Чтобы $(a - 3)^2$ было равно 0, $a$ должно быть равно 3. **Ответ: $a = 3$**