Найди значение выражения: 777...7 + 222...2; (100 раз)

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Они выглядят интересно! **134. Найдите значение выражения:** * **а) 777...7 + 222...2; (100 раз)** Допущение: В задании нужно найти сумму чисел, каждое из которых состоит из 100 одинаковых цифр. Представим каждое число в виде суммы разрядов: $$777...7 = 7 \cdot (111...1)$$, где 1 повторяется 100 раз. $$222...2 = 2 \cdot (111...1)$$, где 1 повторяется 100 раз. Тогда сумма будет: $$7 \cdot (111...1) + 2 \cdot (111...1) = 9 \cdot (111...1) = 999...9$$, где 9 повторяется 100 раз. **Ответ: 999...9 (100 раз)** * **б) 555...5 + 888...8. (100 раз)** Допущение: В задании нужно найти сумму чисел, каждое из которых состоит из 100 одинаковых цифр. Представим каждое число в виде суммы разрядов: $$555...5 = 5 \cdot (111...1)$$, где 1 повторяется 100 раз. $$888...8 = 8 \cdot (111...1)$$, где 1 повторяется 100 раз. Тогда сумма будет: $$5 \cdot (111...1) + 8 \cdot (111...1) = 13 \cdot (111...1) = 13 \cdot (\frac{10^{100} - 1}{9})$$ Чтобы это упростить, можно представить 13 как 1 и 3: $$(10 + 3) \cdot (\frac{10^{100} - 1}{9}) = \frac{10^{101} + 3 \cdot 10^{100} - 10 - 3}{9}$$ **Ответ: 13 \cdot (111...1) (100 раз), или можно записать как 6111...11105 (98 единиц)** **135. Найдите значение выражения:** * **a) 1/(5*6) + 1/(6*7) + 1/(7*8) + ... + 1/(18*19) + 1/(19*20)** Обратим внимание, что каждый член суммы можно представить как разность двух дробей: $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ Тогда наша сумма будет: $$(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + ... + (\frac{1}{18} - \frac{1}{19}) + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20})$$ Заметим, что многие члены сокращаются, остаётся только первый и последний: $$\frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4}{20} - \frac{1}{20} = \frac{3}{20}$$ **Ответ: 3/20** * **б) 1/(9*11) + 1/(11*13) + 1/(13*15) + ... + 1/(21*23) + 1/(23*25)** Здесь каждый член суммы можно представить как: $$\frac{1}{(2n+7)(2n+9)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n+7} - \frac{1}{2n+9})$$ Тогда наша сумма будет: $$\frac{1}{2} [(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) + ... + (\frac{1}{21} - \frac{1}{23}) + (\frac{1}{23} - \frac{1}{25})]$$ Сокращаем члены: $$\frac{1}{2} (\frac{1}{9} - \frac{1}{25}) = \frac{1}{2} (\frac{25 - 9}{225}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{225} = \frac{8}{225}$$ **Ответ: 8/225** **136. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:** * **а) 1,48 * 1,7 и 1,48 : 1,7** Когда мы умножаем число на 1,7, результат становится больше, чем исходное число. А когда делим на 1,7, результат становится меньше. Значит, 1,48 * 1,7 > 1,48 : 1,7 **Ответ: 1,48 * 1,7 больше** * **б) 3,876 * 0,34 и 3,876 : 0,34** Когда мы умножаем число на 0,34, результат становится меньше, чем исходное число. А когда делим на 0,34, результат становится больше. Значит, 3,876 * 0,34 < 3,876 : 0,34 **Ответ: 3,876 : 0,34 больше** * **в) 0,835 * (-2,3) и 0,835 : (-2,3)** Когда мы умножаем положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным. Когда мы делим положительное число на отрицательное, результат тоже будет отрицательным. Но умножение на -2,3 уменьшит число сильнее, чем деление на -2,3 (по модулю). Значит, 0,835 * (-2,3) < 0,835 : (-2,3) **Ответ: 0,835 : (-2,3) больше** * **г) -7,118 * 2,37 и -7,118 : 2,37** Когда мы умножаем отрицательное число на положительное, результат будет отрицательным. Когда мы делим отрицательное число на положительное, результат тоже будет отрицательным. Но умножение на 2,37 уменьшит число сильнее (сделает его более отрицательным), чем деление на 2,37. Значит, -7,118 * 2,37 < -7,118 : 2,37 **Ответ: -7,118 : 2,37 больше**