Ты просишь решить четыре математических задания: сократить дробь, разложить на множители, сократить дробь и упростить выражение.

1. Чтобы сократить дробь $\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}}$, нужно разложить числа 18 и 32 на простые множители. $18 = 2 \cdot 3^2$, $32 = 2^5$. Тогда: $$\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2(n+3)}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}}$$ Теперь можно сократить степени с одинаковыми основаниями: $$\frac{2^{n+3}}{2^{n-2}} = 2^{(n+3)-(n-2)} = 2^{n+3-n+2} = 2^5 = 32$$ $$\frac{3^{2n+6}}{3^{2n+5}} = 3^{(2n+6)-(2n+5)} = 3^{2n+6-2n-5} = 3^1 = 3$$ Перемножаем результаты: $32 \cdot 3 = 96$ **Ответ: 96** 2. Разложим на множители выражение $x^2y + 1 - x^2 - y$. Сгруппируем члены: $$(x^2y - x^2) + (1 - y) = x^2(y - 1) - (y - 1) = (x^2 - 1)(y - 1)$$ Теперь разложим $(x^2 - 1)$ как разность квадратов: $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$. Тогда выражение примет вид: $(x - 1)(x + 1)(y - 1)$. **Ответ: $(x - 1)(x + 1)(y - 1)$** 3. Сократим дробь $\frac{5x^2 - 3x - 2}{5x^2 + 2x}$. Сначала разложим числитель $5x^2 - 3x - 2$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 3x - 2 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$ $x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$ $x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$ Значит, $5x^2 - 3x - 2 = 5(x - 1)(x + 0.4)$. Теперь разложим знаменатель $5x^2 + 2x$ на множители: $5x^2 + 2x = x(5x + 2)$. Тогда дробь примет вид: $$\frac{5(x - 1)(x + 0.4)}{x(5x + 2)} = \frac{5(x - 1)(x + 0.4)}{x \cdot 5(x + 0.4)} = \frac{x - 1}{x}$$ **Ответ: $\frac{x - 1}{x}$** 4. Упростим выражение $\frac{\sqrt{\sqrt{10} - 2} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + 2}}{\sqrt{24}}$. Сначала упростим числитель: $$\sqrt{\sqrt{10} - 2} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + 2} = \sqrt{(\sqrt{10} - 2)(\sqrt{10} + 2)} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{10 - 4} = \sqrt{6}$$ Теперь упростим знаменатель: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$$ **Ответ: $\frac{1}{2}$**