Мне нужно доказать, что если на стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны, а отрезки BD и BE тоже равны, то треугольник ABC - равнобедренный

Для решения этой задачи нужно вспомнить признаки равнобедренного треугольника. Допущение: Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. 1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$. Из условия задачи следует, что $AD = CE$ и $BD = BE$. Также, так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. 2. Если два треугольника имеют две равные стороны и равный угол между ними, то такие треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников). 3. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBE$ (по первому признаку). 4. Из равенства треугольников следует, что $\angle ABD = \angle CBE$. 5. Так как $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$ и $\angle BCA = \angle BCE + \angle ECA$, и учитывая, что $\angle ABD = \angle CBE$, получаем, что $\angle DBC = \angle EBA$. 6. Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $BAC$. У них сторона $BC$ - общая, $\angle ABC = \angle BCA$ (по условию, треугольник $ABC$ равнобедренный) и $\angle DBC = \angle EBA$. Опять же, если два треугольника имеют равные стороны и два прилежащих угла, то такие треугольники равны (по второму признаку равенства треугольников). 7. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle BAC$ (по второму признаку). 8. Из равенства треугольников следует, что сторона $AB$ равна стороне $BC$. Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный, что и требовалось доказать.