При каких целых n выражение (n-3)/(5-n) принимает целое значение?

Конечно, давай решим эти задачки вместе! **Задача 15:** Чтобы дробь $\frac{n-3}{5-n}$ была целым числом, нужно чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Давай посмотрим, когда это возможно: Предположим, что $n - 3$ делится на $5 - n$. Тогда можно сказать, что $n - 3 = k(5 - n)$, где $k$ - какое-то целое число. Преобразуем это выражение: $n - 3 = 5k - nk$, и затем $n + nk = 5k + 3$, то есть $n(1 + k) = 5k + 3$. Теперь выразим $n$: $n = \frac{5k + 3}{k + 1}$. Чтобы найти возможные целые значения $n$, нужно перебрать разные целые значения $k$ и посмотреть, когда $n$ тоже будет целым. Например: * Если $k = 0$, то $n = \frac{3}{1} = 3$. * Если $k = 1$, то $n = \frac{8}{2} = 4$. * Если $k = -2$, то $n = \frac{-7}{-1} = 7$. Также нужно учесть, что знаменатель $5 - n$ не должен быть равен нулю, то есть $n$ не должно быть равно 5. Подставим найденные значения $n$ в исходное выражение и убедимся, что они дают целое число: * Если $n = 3$, то $\frac{3 - 3}{5 - 3} = \frac{0}{2} = 0$ (целое число). * Если $n = 4$, то $\frac{4 - 3}{5 - 4} = \frac{1}{1} = 1$ (целое число). * Если $n = 7$, то $\frac{7 - 3}{5 - 7} = \frac{4}{-2} = -2$ (целое число). Таким образом, целые значения $n$, при которых выражение $\frac{n-3}{5-n}$ принимает целое значение: 3, 4 и 7. **Задача 16:** Представь себе куб, который покрасили со всех сторон, а потом распилили на маленькие кубики. * Кубики с тремя окрашенными гранями - это те, что были в углах большого куба. У каждого куба всегда 8 углов, значит, таких кубиков всегда 8 штук. * Кубики с двумя окрашенными гранями - это те, что были на ребрах большого куба, но не в углах. У большого куба 12 ребер. На каждом ребре кубиков с двумя окрашенными гранями будет $(8 - 2) = 6$ штук (потому что угловые кубики мы уже посчитали). Значит, всего таких кубиков $12 \cdot 6 = 72$. * Кубики с одной окрашенной гранью - это те, что были в центре каждой грани большого куба. У большого куба 6 граней. На каждой грани таких кубиков будет $(8 - 2) \cdot (8 - 2) = 6 \cdot 6 = 36$ штук. Значит, всего таких кубиков $6 \cdot 36 = 216$. **Ответ:** 8 кубиков с тремя окрашенными гранями, 72 кубика с двумя окрашенными гранями и 216 кубиков с одной окрашенной гранью.