Вычисли значения выражений и реши задачи: 1) \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{11};

Привет! Давай решим эти задания вместе. Они кажутся немного сложными, но мы справимся! 1. Вычислите: a) $\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{11} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 11} = \frac{40}{55} = \frac{8}{11}$ б) $\frac{3}{7} : \frac{18}{19} = \frac{3}{7} \cdot \frac{19}{18} = \frac{3 \cdot 19}{7 \cdot 18} = \frac{57}{126} = \frac{19}{42}$ в) $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{27}{64}$ 2. Вычислите: a) $\frac{4}{45} : (\frac{12}{25} - \frac{4}{15}) + \frac{15}{16} \cdot \frac{4}{15} =$ Сначала разберемся со скобками: $\frac{12}{25} - \frac{4}{15} = \frac{12 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{36}{75} - \frac{20}{75} = \frac{16}{75}$ Теперь все выражение: $\frac{4}{45} : \frac{16}{75} + \frac{15}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{45} \cdot \frac{75}{16} + \frac{15 \cdot 4}{16 \cdot 15} = \frac{4 \cdot 75}{45 \cdot 16} + \frac{60}{240} = \frac{300}{720} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ б) $(1-\frac{1}{2})^3 : (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 =$ Сначала упростим скобки: $(1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$ Теперь все выражение: $(\frac{1}{2})^3 : (\frac{1}{12})^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{8} : \frac{1}{144} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{8} \cdot 144 \cdot \frac{1}{36} = \frac{144}{8 \cdot 36} = \frac{144}{288} = \frac{1}{2}$ 3. В книге 320 страниц. Прочитали $\frac{1}{4}$ всей книги, а потом $\frac{1}{2}$ остатка. Сколько страниц осталось еще прочитать? 1) Сначала узнаем, сколько страниц прочитали в первый раз: $320 \cdot \frac{1}{4} = 80$ страниц. 2) Теперь найдем остаток страниц после первого прочтения: $320 - 80 = 240$ страниц. 3) Затем узнаем, сколько страниц прочитали во второй раз: $240 \cdot \frac{1}{2} = 120$ страниц. 4) Теперь посчитаем, сколько всего страниц прочитали: $80 + 120 = 200$ страниц. 5) И, наконец, узнаем, сколько страниц осталось прочитать: $320 - 200 = 120$ страниц. 4. Токарь выполнил до обеда $\frac{5}{9}$ задания. После обеда он обточил половину оставшихся деталей да еще 24 детали и выполнил все задание. Сколько деталей токарь обточил за день? Допущение: примем, что все задание - это 1, то есть $\frac{9}{9}$. 1) Сначала узнаем, какая часть задания осталась после обеда: $\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ задания. 2) Пусть $x$ - это количество деталей, которое составляло $\frac{4}{9}$ задания. Тогда половина этого количества - $\frac{x}{2}$. Получается уравнение: $\frac{x}{2} + 24 = x$ 3) Решим уравнение: $x - \frac{x}{2} = 24$ $\frac{x}{2} = 24$ $x = 24 \cdot 2 = 48$ деталей. 4) Теперь узнаем, сколько всего деталей в задании: Так как $\frac{4}{9}$ задания - это 48 деталей, то: $\frac{1}{9} = \frac{48}{4} = 12$ деталей. $\frac{9}{9} = 12 \cdot 9 = 108$ деталей. 5. Укажите наименьшую дробь со знаменателем 8, большую $\frac{1}{3}$, но меньшую $\frac{2}{3}$. Сначала приведем дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ к знаменателю 8: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$ $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$ Теперь ищем дробь со знаменателем 8, которая больше $\frac{8}{24}$, но меньше $\frac{16}{24}$. Это дробь $\frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}, \frac{12}{24}, \frac{13}{24}, \frac{14}{24}, \frac{15}{24}$. Нам нужна наименьшая, то есть $\frac{9}{24}$. Упростим её: $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если возникнут еще вопросы, обязательно спрашивай! **Ответы:** 1. a) $\frac{8}{11}$, б) $\frac{19}{42}$, в) $\frac{27}{64}$ 2. a) $\frac{2}{3}$, б) $\frac{1}{2}$ 3. 120 страниц 4. 108 деталей 5. $\frac{3}{8}$