Помоги мне решить неравенство (x-1)(x-2)² / (x-3)³ < 0

Конечно, давай решим эти неравенства вместе! 1) $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} < 0$ Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Сначала определим критические точки, где числитель или знаменатель равен нулю: $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$. Теперь нарисуем числовую прямую и отметим эти точки. Важно помнить, что точка $x = 3$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю. Определим знаки выражения на каждом интервале: - $x < 1$: все скобки отрицательные, и выражение отрицательное. - $1 < x < 2$: $(x - 1)$ положительное, остальные отрицательные, выражение положительное. - $2 < x < 3$: $(x - 1)$ положительное, $(x - 2)^2$ положительное, $(x - 3)^3$ отрицательное, выражение отрицательное. - $x > 3$: все скобки положительные, выражение положительное. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Итак, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3)$. 2) $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} > 0$ Определим критические точки: $x = 1$, $x = -2$, $x = 5$. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x = 5$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю. Определим знаки выражения на каждом интервале: - $x < -2$: $(x - 1)^2$ положительное, $(x + 2)^3$ отрицательное, $(x - 5)$ отрицательное, выражение положительное. - $-2 < x < 1$: $(x - 1)^2$ положительное, $(x + 2)^3$ положительное, $(x - 5)$ отрицательное, выражение отрицательное. - $1 < x < 5$: $(x - 1)^2$ положительное, $(x + 2)^3$ положительное, $(x - 5)$ отрицательное, выражение отрицательное. - $x > 5$: все скобки положительные, выражение положительное. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Итак, решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$. 3) $\frac{x^2(x-1)}{x-4} > 0$ Определим критические точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = 4$. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x = 4$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю. Определим знаки выражения на каждом интервале: - $x < 0$: $x^2$ положительное, $(x - 1)$ отрицательное, $(x - 4)$ отрицательное, выражение положительное. - $0 < x < 1$: $x^2$ положительное, $(x - 1)$ отрицательное, $(x - 4)$ отрицательное, выражение положительное. - $1 < x < 4$: $x^2$ положительное, $(x - 1)$ положительное, $(x - 4)$ отрицательное, выражение отрицательное. - $x > 4$: все скобки положительные, выражение положительное. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Итак, решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (4, +\infty)$.