Можешь доказать, что значение выражения a) $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2}$ рационально?

Привет! Сейчас помогу разобраться с этими примерами. Тебе нужно доказать, что значения выражений рациональны, то есть являются обычными дробями, у которых и числитель, и знаменатель - целые числа. a) $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2}$ Тут надо вспомнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль $a$). Модуль всегда делает число положительным или оставляет нулём, если число было нулём. Поэтому: $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} = |7-4\sqrt{3}|$ $\sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} = |4-2\sqrt{3}|$ Теперь нужно понять, какие знаки будут у выражений под модулем. Для этого сравним числа: $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$ $7 = \sqrt{49}$ Так как $\sqrt{48} < \sqrt{49}$, то $4\sqrt{3} < 7$, значит, $7 - 4\sqrt{3} > 0$. Модуль можно убрать: $|7-4\sqrt{3}| = 7-4\sqrt{3}$. Аналогично: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$ $4 = \sqrt{16}$ Так как $\sqrt{12} < \sqrt{16}$, то $2\sqrt{3} < 4$, значит, $4 - 2\sqrt{3} > 0$. Модуль тоже можно убрать: $|4-2\sqrt{3}| = 4-2\sqrt{3}$. Теперь всё вместе: $\sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} = |7-4\sqrt{3}| - |4-2\sqrt{3}| = 7-4\sqrt{3} - (4-2\sqrt{3}) = 7-4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3}$ Это выражение не является рациональным, так как содержит иррациональное число $\sqrt{3}$. б) $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2}$ Снова используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}|$ $\sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37-12\sqrt{7}|$ Так как $37+12\sqrt{7}$ явно больше нуля, модуль можно убрать: $|37+12\sqrt{7}| = 37+12\sqrt{7}$. Теперь разберёмся со вторым модулем. Сравним числа: $12\sqrt{7} = \sqrt{144 \cdot 7} = \sqrt{1008}$ $37 = \sqrt{37^2} = \sqrt{1369}$ Так как $\sqrt{1008} < \sqrt{1369}$, то $12\sqrt{7} < 37$, значит, $37 - 12\sqrt{7} > 0$. Модуль можно убрать: $|37-12\sqrt{7}| = 37-12\sqrt{7}$. Теперь всё вместе: $\sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}| + |37-12\sqrt{7}| = 37+12\sqrt{7} + 37-12\sqrt{7} = 74$ Это выражение является рациональным, так как получилось целое число 74. **Ответ:** а) Выражение не является рациональным, значение $3 - 2\sqrt{3}$. б) Выражение является рациональным, значение 74.