Вычисли, каким могло быть шестизначное число, образованное двумя последовательными трёхзначными числами, если известно, что оно делится на 499

Пусть первое трёхзначное число будет $x$, тогда второе число будет $x + 1$. Шестизначное число, образованное записью этих чисел друг за другом, можно представить как $1000x + (x + 1) = 1001x + 1$. Нам нужно найти такое $x$, чтобы $1001x + 1$ делилось на 499. Это значит, что должно существовать целое число $k$, такое что: $1001x + 1 = 499k$ Преобразуем это уравнение: $1001x = 499k - 1$ $x = \frac{499k - 1}{1001}$ Поскольку $x$ должно быть трёхзначным числом (то есть лежать в диапазоне от 100 до 999), мы можем перебирать значения $k$ и смотреть, когда $x$ попадает в этот диапазон. При $k = 201$: $x = \frac{499 \cdot 201 - 1}{1001} = \frac{100299 - 1}{1001} = \frac{100298}{1001} = 100,1978...$ Это значение $x$ не подходит, так как оно не целое. При $k = 202$: $x = \frac{499 \cdot 202 - 1}{1001} = \frac{100798}{1001} = 100,7.$ Это значение $x$ тоже не подходит, так как оно не целое. При $k = 402$: $x = \frac{499 \cdot 402 - 1}{1001} = \frac{200598 - 1}{1001} = \frac{200597}{1001} = 200,3966...$ При $k = 603$: $x = \frac{499 \cdot 603 - 1}{1001} = \frac{300897 - 1}{1001} = \frac{300896}{1001} = 300,5954...$ При $k = 804$: $x = \frac{499 \cdot 804 - 1}{1001} = \frac{401196 - 1}{1001} = \frac{401195}{1001} = 400,7942...$ При $k = 200$: $x = \frac{499 \cdot 200 - 1}{1001} = \frac{99800 - 1}{1001} = \frac{99799}{1001} = 99,7...$ Это значение $x$ не подходит, так как оно меньше 100. Попробуем другой подход. Заметим, что $1001 = 499 \cdot 2 + 3$, значит, $1001 \equiv 3 \pmod{499}$. Тогда $1001x + 1 \equiv 3x + 1 \pmod{499}$. Чтобы $1001x + 1$ делилось на 499, нужно, чтобы $3x + 1$ делилось на 499, то есть $3x + 1 = 499n$ для некоторого целого $n$. $3x = 499n - 1$ $x = \frac{499n - 1}{3}$ Теперь перебираем $n$, чтобы $x$ было целым и трёхзначным: Если $n = 1$, то $x = \frac{499 - 1}{3} = \frac{498}{3} = 166$. Тогда второе число $167$, а шестизначное число $166167$. Проверим: $166167 \div 499 = 333$. **Ответ: 166167**