Как доказать, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD.

Докажем, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм. 1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB = CD и AB || CD. 2. По условию, на диагонали BD отмечены точки P и Q так, что PB = QD. 3. Так как ABCD - параллелограмм, то углы \(\angle ABP\) и \(\angle CDQ\) равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. 4. Рассмотрим треугольники ABP и CDQ. У них: * AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма), * \(\angle ABP = \angle CDQ\) (как внутренние накрест лежащие углы), * PB = QD (по условию). Следовательно, \(\triangle ABP = \triangle CDQ\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. Из равенства треугольников ABP и CDQ следует, что AP = CQ и \(\angle BAP = \angle DCQ\). 6. Теперь рассмотрим треугольники CBQ и ADP. У них: * BC = AD (как противоположные стороны параллелограмма), * \(\angle CBQ = \angle ADP\) (как внутренние накрест лежащие углы), * BQ = DP (так как BD = BQ + QD = DP + PB и PB = QD). Следовательно, \(\triangle CBQ = \triangle ADP\) по первому признаку равенства треугольников. 7. Из равенства треугольников CBQ и ADP следует, что CQ = AP и \(\angle BCQ = \angle DAP\). 8. Так как AP = CQ и CQ = AP, то стороны AP и CQ попарно равны и параллельны. Следовательно, четырёхугольник APCQ - параллелограмм. **ЧТД**