Реши уравнение log₂(x - 1) = 1

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Логарифмы могут казаться сложными, но мы справимся! 1) \( \log_2(x - 1) = 1 \) Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, что логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число под логарифмом. В данном случае, 2 нужно возвести в степень 1, чтобы получить \( x - 1 \). Значит: $$x - 1 = 2^1$$ $$x - 1 = 2$$ $$x = 2 + 1$$ $$\mathbf{x = 3}$$ 2) \( \log_3(2x + 1) = 3 \) Здесь 3 нужно возвести в степень 3, чтобы получить \( 2x + 1 \). Получаем: $$2x + 1 = 3^3$$ $$2x + 1 = 27$$ $$2x = 27 - 1$$ $$2x = 26$$ $$\mathbf{x = 13}$$ 3) \( \lg(3 - 2x) = 2 \) Здесь у нас десятичный логарифм (\( \lg \)), то есть основание равно 10. Значит, 10 нужно возвести в степень 2, чтобы получить \( 3 - 2x \). Получаем: $$3 - 2x = 10^2$$ $$3 - 2x = 100$$ $$-2x = 100 - 3$$ $$-2x = 97$$ $$\mathbf{x = -48.5}$$ 4) \( \log_{\frac{1}{6}}(4x - 8) = -2 \) Здесь основание логарифма равно \( \frac{1}{6} \). Значит, \( \frac{1}{6} \) нужно возвести в степень -2, чтобы получить \( 4x - 8 \). Получаем: $$4x - 8 = (\frac{1}{6})^{-2}$$ $$4x - 8 = 6^2$$ $$4x - 8 = 36$$ $$4x = 36 + 8$$ $$4x = 44$$ $$\mathbf{x = 11}$$ 5) \( \log_7(x^2 - 2x - 8) = 1 \) Здесь 7 нужно возвести в степень 1, чтобы получить \( x^2 - 2x - 8 \). Получаем: $$x^2 - 2x - 8 = 7^1$$ $$x^2 - 2x - 8 = 7$$ $$x^2 - 2x - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -15. Это числа 5 и -3. Значит: $$\mathbf{x_1 = 5, \ x_2 = -3}$$ 6) \( \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4 \) Здесь основание логарифма равно \( \frac{1}{2} \). Значит, \( \frac{1}{2} \) нужно возвести в степень -4, чтобы получить \( x^2 + 4x - 5 \). Получаем: $$x^2 + 4x - 5 = (\frac{1}{2})^{-4}$$ $$x^2 + 4x - 5 = 2^4$$ $$x^2 + 4x - 5 = 16$$ $$x^2 + 4x - 21 = 0$$ Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -21. Это числа 3 и -7. Значит: $$\mathbf{x_1 = 3, \ x_2 = -7}$$ Вот и все! Если что-то непонятно, спрашивай, не стесняйся!