Объясни, как найти допустимые значения переменной, область определения функции, при каком значении переменной дробь равна нулю и как определить знак дроби.

Привет! Давай разберём эти задания по порядку. 11. Чтобы найти допустимые значения переменной в выражении, нужно исключить те значения, при которых знаменатель обращается в ноль. Это потому что на ноль делить нельзя. * a) $x^2 - 8x + 9$ — здесь нет знаменателя, поэтому $x$ может быть любым числом. * б) $\frac{6}{x-3}$ — здесь $x$ не может быть равен 3, потому что тогда знаменатель будет равен нулю. * в) $\frac{3x-6}{7}$ — здесь знаменатель 7, он никогда не станет нулём, поэтому $x$ может быть любым. * г) $\frac{4x(x+1)}{x+8}$ — здесь $x$ не может быть равен -8, чтобы знаменатель не был нулём. * д) $\frac{x^2-25}{y-2}$ - здесь $y$ не может быть равен 2, чтобы знаменатель не был нулём. * e) $\frac{x+5}{y+6}$ - здесь $y$ не может быть равен -6, чтобы знаменатель не был нулём. 12. Здесь делаем то же самое, ищем значения, при которых знаменатель не равен нулю: * a) $\frac{5}{y-9}$ — $y$ не может быть равен 9. * б) $\frac{25}{11}$ — здесь нет переменной в знаменателе, поэтому ограничений нет. * г) $\frac{y-10}{y^2+3}$ — $y^2+3$ всегда больше нуля, так что $y$ может быть любым числом. * д) $\frac{y+15}{y-6}$ — $y$ не может быть равен 6. * e) $\frac{32}{y+7}$ — $y$ не может быть равен -7. 13. Чтобы найти область определения функции, нужно посмотреть, при каких значениях $x$ функция имеет смысл (то есть можно вычислить $y$). * a) $y = \frac{1}{x-2}$ — $x$ не может быть равен 2. * б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ — $x$ не может быть равен 0 или -1. * в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ — $x$ не может быть равен -5. 14. Чтобы дробь $\frac{x-3}{5}$ была равна нулю, нужно, чтобы её числитель был равен нулю: $x - 3 = 0$. Решаем уравнение: $x = 3$. 15. Делаем так же, как и в 14-м задании: ищем, когда числитель равен нулю. * a) $\frac{y-5}{8}$ — $y - 5 = 0$, значит, $y = 5$. * б) $\frac{2y+3}{10}$ — $2y + 3 = 0$, значит, $2y = -3$ и $y = -1.5$. * в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ - $x(x-1) = 0$, значит, $x = 0$ или $x = 1$. 16. Опять ищем, когда числитель равен нулю. * a) $\frac{m+4}{6}$ — $m + 4 = 0$, значит, $m = -4$. * б) $\frac{7-5n}{11}$ — $7 - 5n = 0$, значит, $5n = 7$ и $n = 1.4$. * в) $\frac{b^2-b}{b+2}$ - $b^2 - b = 0$, значит, $b(b-1) = 0$, и тогда $b = 0$ или $b = 1$. * г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$ - $y^2 - 25 = 0$, значит, $(y-5)(y+5) = 0$, и тогда $y = 5$ или $y = -5$. 17. Чтобы определить знак дроби $\frac{a}{b}$, нужно знать знаки $a$ и $b$. * a) Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь положительная (+). * б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то дробь отрицательная (-). * в) Если $a < 0$ и $b > 0$, то дробь отрицательная (-). * г) Если $a < 0$ и $b < 0$, то дробь положительная (+). 18. Нужно доказать, что $\frac{a^2+3}{a^2+1}$ всегда положительно. Смотри, $a^2$ всегда больше или равно нулю, потому что любое число в квадрате даёт неотрицательный результат. Значит, $a^2 + 3$ всегда больше нуля, и $a^2 + 1$ тоже всегда больше нуля. А если числитель и знаменатель положительные, то и вся дробь положительная! А вот $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ всегда неотрицательна. $(a-1)^2$ всегда больше или равно нулю, а $a^2+10$ всегда больше нуля. Значит, дробь либо положительная, либо равна нулю, но никак не может быть отрицательной. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё!