Помоги мне найти, какая последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Конечно, давай решим эти задачки вместе! 111. Чтобы определить, какая последовательность является геометрической прогрессией, нужно проверить, что каждое следующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии). * **1) 2; 3; 5; 8; ...** Здесь нет постоянного множителя. * **2) 2; -2; -6; -10; ...** Здесь числа изменяются сложением, а не умножением. * **3) 16; 8; 4; 2; ...** Здесь каждое следующее число получается умножением на 0,5. Значит, это геометрическая прогрессия. * **4) 2; -1; 10; -7; 18; ...** Здесь тоже нет постоянного множителя. **Правильный ответ: 3** 112. a) Чтобы найти $a_8$, используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Подставляем известные значения: $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = -\frac{1}{3}$, $n = 8$. $$a_8 = \frac{2}{3} + (8 - 1) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{5}{3}$$ **Ответ: $a_8 = -\frac{5}{3}$** б) Чтобы найти $a_9$, используем ту же формулу $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Подставляем известные значения: $a_1 = -\frac{1}{4}$, $d = \frac{3}{4}$, $n = 9$. $$a_9 = -\frac{1}{4} + (9 - 1) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{24}{4} = \frac{23}{4}$$ **Ответ: $a_9 = \frac{23}{4}$** 113. a) Чтобы найти $b_4$, используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляем известные значения: $b_1 = -3$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 4$. $$b_4 = -3 \cdot (\frac{1}{2})^{4-1} = -3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = -3 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$ **Ответ: $b_4 = -\frac{3}{8}$** б) Чтобы найти $b_6$, используем ту же формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляем известные значения: $b_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$, $n = 6$. $$b_6 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^{6-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^5 = \sqrt{2} \cdot (-4\sqrt{2}) = -4 \cdot 2 = -8$$ **Ответ: $b_6 = -8$** 114. a) Чтобы найти разность арифметической прогрессии $d$, используем формулу $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Нам известны $a_1 = -18$ и $a_{10} = 18$. Подставляем в формулу: $$18 = -18 + (10 - 1)d$$ $$18 = -18 + 9d$$ $$36 = 9d$$ $$d = \frac{36}{9} = 4$$ **Ответ: $d = 4$** б) Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии $q$, используем формулу $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. **Допущение:** в задании подразумевается $b_{10} = 18$ (опечатка, должно быть $b$ вместо $a$). Тогда $b_1 = -18$ и $b_{10} = 18$. Подставляем в формулу: $$18 = -18 \cdot q^{10-1}$$ $$18 = -18 \cdot q^9$$ $$q^9 = -1$$ $$q = \sqrt[9]{-1} = -1$$ **Ответ: $q = -1$**