Докажи, что числа $\sqrt{3}$, $2+\sqrt{3}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ иррациональны.

5. 4. Чтобы доказать, что $\sqrt{3}$ иррациональное число, предположим обратное: $\sqrt{3}$ — рациональное. Тогда $\sqrt{3}$ можно представить в виде несократимой дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q ≠ 0$. Возведём обе части в квадрат: $3 = p^2/q^2$, откуда $p^2 = 3q^2$. Это означает, что $p^2$ делится на 3, а следовательно, и $p$ делится на 3. Тогда $p = 3k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это в уравнение: $(3k)^2 = 3q^2$, то есть $9k^2 = 3q^2$, или $q^2 = 3k^2$. Это означает, что $q^2$ тоже делится на 3, а следовательно, и $q$ делится на 3. Получается, что и $p$, и $q$ делятся на 3, что противоречит нашему предположению о несократимости дроби $p/q$. Значит, $\sqrt{3}$ — иррациональное число. 5. 6. Допустим, $2 + \sqrt{3}$ рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q ≠ 0$. Значит, $2 + \sqrt{3} = p/q$, откуда $\sqrt{3} = p/q - 2 = (p - 2q)/q$. Но это означает, что $\sqrt{3}$ тоже рациональное число, что противоречит доказанному в предыдущем пункте. Следовательно, $2 + \sqrt{3}$ иррационально. 6. 7. Допустим, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q ≠ 0$. Значит, $\sqrt{2} + \sqrt{3} = p/q$. Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (p/q)^2$, то есть $2 + 2\sqrt{6} + 3 = p^2/q^2$, или $5 + 2\sqrt{6} = p^2/q^2$. Отсюда $2\sqrt{6} = p^2/q^2 - 5 = (p^2 - 5q^2)/q^2$, и $\sqrt{6} = (p^2 - 5q^2)/(2q^2)$. Это означает, что $\sqrt{6}$ рациональное число. Чтобы доказать, что это не так, предположим, что $\sqrt{6} = a/b$, где $a$ и $b$ — целые числа и $b ≠ 0$. Тогда $6 = a^2/b^2$, откуда $a^2 = 6b^2 = 2 * 3 * b^2$. Это означает, что $a^2$ делится и на 2, и на 3, а следовательно, и $a$ делится и на 2, и на 3. Но тогда $a = 6k$ для некоторого целого числа $k$, и $a^2 = 36k^2 = 6b^2$, то есть $b^2 = 6k^2$. Это означает, что $b^2$ тоже делится и на 2, и на 3, а следовательно, и $b$ делится и на 2, и на 3. Получается, что и $a$, и $b$ делятся и на 2, и на 3, что противоречит предположению о несократимости дроби $a/b$. Значит, $\sqrt{6}$ — иррациональное число, а следовательно, и $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ иррационально. 7. 8. Допустим, $\log_3{p}$ — рациональное число, где $p$ — простое число. Тогда $\log_3{p} = a/b$, где $a$ и $b$ — целые числа и $b ≠ 0$. Значит, $3^{a/b} = p$, или $3^a = p^b$. Но это возможно только если $p = 3$, потому что если $p$ — другое простое число, то равенство не может выполняться (слева будет степень тройки, а справа — степень другого простого числа). Если $p = 3$, то $\log_3{3} = 1$, что рационально. Но если $p$ — любое другое простое число, то $\log_3{p}$ будет иррациональным. 8. 9. Если $π$ иррационально, то $π/2 + πn$ тоже иррационально, так как прибавление рационального числа ($πn$, где $n$ — целое число) к иррациональному числу ($π/2$) всегда даёт иррациональное число.