Помоги мне найти значения параметра a, при которых уравнение 25^x - (a+7) * 5^x + 5a + 10 = 0 имеет один действительный корень?

Для решения уравнения $25^x - (a+7) \cdot 5^x + 5a + 10 = 0$ нужно найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет только один действительный корень. Вот как это можно сделать: 1. **Замена переменной:** Пусть $t = 5^x$, тогда $t^2 = (5^x)^2 = 25^x$. Уравнение примет вид: $$t^2 - (a+7)t + 5a + 10 = 0$$ 2. **Анализ дискриминанта:** Для того чтобы квадратное уравнение имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. $$D = (a+7)^2 - 4(5a + 10) = 0$$ Раскрываем скобки и упрощаем: $$a^2 + 14a + 49 - 20a - 40 = 0$$ $$a^2 - 6a + 9 = 0$$ 3. **Решение квадратного уравнения:** Получили квадратное уравнение относительно $a$. Его можно решить через дискриминант или заметить, что это полный квадрат: $$(a - 3)^2 = 0$$ Таким образом, $a = 3$. 4. **Проверка корней:** При $a = 3$ уравнение для $t$ будет таким: $$t^2 - (3+7)t + 5 \cdot 3 + 10 = 0$$ $$t^2 - 10t + 25 = 0$$ $$(t - 5)^2 = 0$$ $$t = 5$$ 5. **Нахождение x:** Теперь вернемся к замене $t = 5^x$: $$5^x = 5$$ $$x = 1$$ 6. **Дополнительные случаи:** Рассмотрим случай, когда один из корней квадратного уравнения отрицательный, а другой положительный. В этом случае, если отрицательный корень не даст решений для $x$ (так как $5^x$ не может быть отрицательным), то останется только один положительный корень, дающий одно решение для $x$. Пусть $t_1$ и $t_2$ - корни уравнения $t^2 - (a+7)t + 5a + 10 = 0$. По теореме Виета: $$t_1 \cdot t_2 = 5a + 10$$ Чтобы корни были разных знаков, необходимо, чтобы их произведение было отрицательным: $$5a + 10 < 0$$ $$5a < -10$$ $$a < -2$$ 7. **Проверка условия $t > 0$:** Если $a < -2$, то один корень будет положительным, а другой отрицательным. Нам нужно убедиться, что положительный корень действительно существует и дает решение для $x$. Рассмотрим сумму корней: $t_1 + t_2 = a + 7$. Если $a < -2$, то $a + 7 > 0$, то есть сумма корней положительна. Это значит, что положительный корень будет существовать. **Ответ:** $a = 3$ или $a < -2$.