Помоги мне решить задания по алгебре: 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: a) x² - 8x + 9

Давай разберем эти задания по порядку. **11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** Допустимые значения переменной - это все числа, кроме тех, при которых знаменатель дроби равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$ - здесь нет знаменателя, поэтому допустимы все значения $x$. б) $\frac{1}{6x-3}$ - знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. Решаем уравнение $6x-3=0$, получаем $x=\frac{1}{2}$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $\frac{1}{2}$. в) $\frac{3x-6}{7}$ - здесь нет знаменателя, поэтому допустимы все значения $x$. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$ - знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x$ не должен быть равен $0$ и $-1$. д) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$ - знаменатель $x^2+25$ всегда больше нуля, так как $x^2$ всегда неотрицателен, а значит, допустимы все значения $x$. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ - здесь два знаменателя: $x+8$ и $x$. Значит, $x$ не должен быть равен $-8$ и $0$. **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** а) $\frac{5y-8}{11}$ - здесь нет знаменателя с переменной, поэтому допустимы все значения $y$. б) $\frac{25}{y-9}$ - знаменатель $y-9$ не должен быть равен нулю. Значит, $y$ не должен быть равен $9$. в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ - знаменатель $y^2-2y = y(y-2)$ не должен быть равен нулю. Значит, $y$ не должен быть равен $0$ и $2$. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$ - знаменатель $y^2+3$ всегда больше нуля, так как $y^2$ всегда неотрицателен, а значит, допустимы все значения $y$. д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ - здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Значит, $y$ не должен быть равен $6$ и $-6$. е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ - здесь два знаменателя: $y$ и $y+7$. Значит, $y$ не должен быть равен $0$ и $-7$. **13. Найдите область определения функции:** Область определения функции - это все значения $x$, при которых функция имеет смысл. а) $y = \frac{1}{x-2}$ - знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. Значит, $x$ не должен быть равен $2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ - знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x$ не должен быть равен $0$ и $-1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ - знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. Значит, $x$ не должен быть равен $-5$. **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно нулю?** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Значит, $x-3=0$, откуда $x=3$. Правильный ответ: Г **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$ - числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Значит, $y=5$. б) $\frac{2y+3}{10}$ - числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Значит, $2y=-3$, откуда $y=-\frac{3}{2}$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ - числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Значит, $x=0$ или $x=1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$ - числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Значит, $x=0$ или $x=-3$. **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** а) $\frac{m+4}{6}$ - числитель $m+4$ должен быть равен нулю. Значит, $m=-4$. б) $\frac{7-5n}{11}$ - числитель $7-5n$ должен быть равен нулю. Значит, $5n=7$, откуда $n=\frac{7}{5}$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$ - числитель $b^2-b = b(b-1)$ должен быть равен нулю. Значит, $b=0$ или $b=1$. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$ - числитель $y^2-25 = (y-5)(y+5)$ должен быть равен нулю. Значит, $y=5$ или $y=-5$. **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** а) $a > 0$ и $b > 0$ - дробь положительна. б) $a > 0$ и $b < 0$ - дробь отрицательна. в) $a < 0$ и $b > 0$ - дробь отрицательна. г) $a < 0$ и $b < 0$ - дробь положительна. **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно - так как $x^2$ всегда неотрицательно, то $x^2+1$ всегда больше нуля. Значит, дробь всегда положительна. б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно - так как $y^2$ всегда неотрицательно, то $y^2+4$ всегда больше нуля. Значит, дробь всегда отрицательна. в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно - так как $(a-1)^2$ всегда неотрицательно и $a^2+10$ всегда больше нуля, то дробь всегда неотрицательна. г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно - так как $(b-3)^2$ всегда неотрицательно, а $-b^2-1$ всегда отрицательно, то дробь всегда неположительна. **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** а) $\frac{4}{a^2+5}$ - дробь будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим. Знаменатель $a^2+5$ будет наименьшим, когда $a^2=0$, то есть $a=0$. б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$ - дробь будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим. Знаменатель $(a-3)^2+1$ будет наименьшим, когда $(a-3)^2=0$, то есть $a=3$.