Реши примеры и задачи из упражнений на фото: определи какие числа рациональные, сравни числовые выражения, вычисли значения выражений с корнями и модулями.

Привет! Давай вместе посмотрим на эти задания и решим их! **Задание 6:** Рациональные числа - это те, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа. Если десятичная дробь конечная или периодическая (то есть цифры повторяются), то это рациональное число. А если дробь бесконечная и непериодическая, то она иррациональная. * 16,9 - рациональное число (можно записать как 169/10). * 7,25(4) - рациональное число (периодическая дробь). * 1,21221222... - иррациональное число (после каждой единицы число двоек увеличивается, нет периода). * 99,1357911... - скорее всего, иррациональное число, так как цифры после запятой не образуют повторяющуюся последовательность. **Задание 7:** Приближение числа $\sqrt{31}$: $\sqrt{31}$ находится между числами $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{36}=6$. 5,4 и 5,5 - десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и избытком, так как 5,4 < $\sqrt{31}$ < 5,5. **Равенства с модулем:** Модуль числа $x$ (обозначается $|x|$) - это расстояние от числа до нуля. Поэтому $|x| = x$, если $x$ - положительное число или ноль, и $|x| = -x$, если $x$ - отрицательное число. * $x = 5 - \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7}$ примерно 2,6, то $x$ положительное, и верно равенство $|x| = x$. * $x = 4 - 3\sqrt{3}$. Так как $3\sqrt{3}$ примерно 5,2, то $x$ отрицательное, и верно равенство $|x| = -x$. * $x = 5 - \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10}$ примерно 3,2, то $x$ положительное, и верно равенство $|x| = x$. **Рациональное или иррациональное число:** 1) $(\sqrt{8}-3)(3+2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2}-3)(3+2\sqrt{2}) = 4*2 - 9 = -1$. Это рациональное число. 2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = (3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = - (3\sqrt{3} - 2)(3\sqrt{3} - 2) = -(27 - 12\sqrt{3} + 4) = -31 + 12\sqrt{3}$. Это иррациональное число. 3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = 9\sqrt{2} * \sqrt{2} = 9 * 2 = 18$. Это рациональное число. 4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8$. Это рациональное число. 5) $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 8$. Это рациональное число. 6) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2 = (5 - 2\sqrt{5} + 1) - (4*5 + 4\sqrt{5} + 1) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5} = -15 - 6\sqrt{5}$. Это иррациональное число. **Вычислить:** 1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{9 \cdot 7} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = 3 \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7} = 6 \cdot 7 = 42$. 2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$. 3) $\sqrt{50} : \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} : \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} : 2\sqrt{2} = 5/2 = 2,5$. 4) $\sqrt{12} : \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} : \sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{3} : 3\sqrt{3} = 2/3$. **Сравнить числовые значения выражений:** 1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $\sqrt{1,1} + \sqrt{17}$. $\sqrt{3,9} \approx 1,97$, $\sqrt{8} \approx 2,83$, $\sqrt{1,1} \approx 1,05$, $\sqrt{17} \approx 4,12$. $1,97 + 2,83 = 4,80$ и $1,05 + 4,12 = 5,17$. Значит, $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < \sqrt{1,1} + \sqrt{17}$. 2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$. $\sqrt{11} \approx 3,32$, $\sqrt{2,1} \approx 1,45$, $\sqrt{10} \approx 3,16$, $\sqrt{3,1} \approx 1,76$. $3,32 - 1,45 = 1,87$ и $3,16 - 1,76 = 1,40$. Значит, $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - \sqrt{3,1}$. **Вычислить:** 1) $(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}$. Заметим, что $7 - 2\sqrt{10} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$. Тогда $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$. $(\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$. 2) $\sqrt{(\sqrt{16} - 6\sqrt{7}) + \sqrt{7}} \cdot 3}$. К сожалению, я не могу решить этот пример, потому что выражение под большим корнем получается отрицательным, а из отрицательного числа корень не извлекается. 3) $\sqrt{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}$ - не могу решить, не вижу конца выражения. Если что-то непонятно, спрашивай!