Реши задачи по геометрии 26-34

26. Раз ромб с углом 60°, то он состоит из двух равносторонних треугольников. Большая диагональ ромба равна двум сторонам этих треугольников. Сторона ромба равна $\sqrt{3}$. Большая диагональ равна $2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. **Ответ: $2\sqrt{3}$** 27. Пусть диагонали ромба равны $3x$ и $4x$. Периметр ромба равен 200, значит, сторона ромба равна $200 : 4 = 50$. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют прямоугольный треугольник со сторонами $\frac{3}{2}x$, $\frac{4}{2}x$ и 50. По теореме Пифагора: $$(\frac{3}{2}x)^2 + (\frac{4}{2}x)^2 = 50^2$$ $$\frac{9}{4}x^2 + 4x^2 = 2500$$ $$\frac{25}{4}x^2 = 2500$$ $$x^2 = 400$$ $$x = 20$$ Диагонали ромба равны $3 \cdot 20 = 60$ и $4 \cdot 20 = 80$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $\frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 2400$. Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: $50 \cdot h = 2400$, отсюда $h = 48$. **Ответ: 48** 28. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужны длины сторон четырёхугольника. 29. В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $122°$. Нужно найти угол $ACD$. В ромбе противоположные углы равны, значит, угол $ADC$ тоже равен $122°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, значит, угол $BAD$ равен $180° - 122° = 58°$. Угол $BCD$ тоже равен $58°$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$, значит, угол $ACD$ равен половине угла $BCD$, то есть $58° : 2 = 29°$. **Ответ: 29°** 30. В ромбе $ABCD$ угол $ACD$ равен $43°$. Нужно найти угол $ABC$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$, значит, угол $BCD$ равен $43° \cdot 2 = 86°$. В ромбе углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$, значит, угол $ABC$ равен $180° - 86° = 94°$. **Ответ: 94°** 31. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 189. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Нужно найти площадь трапеции $AECB$. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции $AECB$ равна полусумме оснований на высоту. $$S_{AECB} = \frac{BC + AE}{2} \cdot h$$ Так как $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$, то $$S_{AECB} = \frac{BC + \frac{1}{2}BC}{2} \cdot h = \frac{\frac{3}{2}BC}{2} \cdot h = \frac{3}{4}BC \cdot h = \frac{3}{4}S_{ABCD} = \frac{3}{4} \cdot 189 = 141,75$$ **Ответ: 141,75** 32. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 153. $A'B'C'D'$ - вершины являются серединами сторон данного параллелограмма. Нужно найти площадь параллелограмма $A'B'C'D'$. Площадь параллелограмма, построенного на серединах сторон, равна половине площади исходного параллелограмма. $$S_{A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 153 = 76,5$$ **Ответ: 76,5** 33. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 176. Точка $E$ — середина стороны $CD$. Нужно найти площадь треугольника $ADE$. Площадь треугольника $ADE$ равна половине произведения основания $AD$ на высоту $h$, опущенную на это основание. Так как $E$ — середина $CD$, то высота треугольника $ADE$, проведённая к стороне $AD$, равна половине высоты параллелограмма. $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{1}{2}h = \frac{1}{4} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{4}S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 176 = 44$$ **Ответ: 44** 34. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54°$. Нужно найти острый угол ромба. В ромбе диагональ является биссектрисой угла. Пусть угол между стороной и диагональю равен $54°$. Тогда угол ромба, из которого выходит эта диагональ, равен $54° \cdot 2 = 108°$. В ромбе два угла острые и два тупые. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Тогда острый угол ромба равен $180° - 108° = 72°$. **Ответ: 72°**