Найди длину вектора KL + ML в параллелограмме KLMN со сторонами LK = 4 и KN = 5 и диагональю LN = 8.

В параллелограмме $KLMN$ даны стороны $LK = 4$, $KN = 5$ и диагональ $LN = 8$. Нужно найти длину вектора $\vec{KL} + \vec{ML}$. $\vec{KL} + \vec{ML} = \vec{ML} + \vec{KL} = \vec{KL} - \vec{LM} = \vec{KM}$. Длина вектора $\vec{KM}$ равна длине диагонали $KM$ параллелограмма $KLMN$. Рассмотрим треугольник $LKN$. В нём известны три стороны: $LK = 4$, $KN = 5$, $LN = 8$. По теореме косинусов: $LN^2 = LK^2 + KN^2 - 2 \cdot LK \cdot KN \cdot cos(\angle LKN)$ $8^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos(\angle LKN)$ $64 = 16 + 25 - 40 \cdot cos(\angle LKN)$ $64 = 41 - 40 \cdot cos(\angle LKN)$ $23 = -40 \cdot cos(\angle LKN)$ $cos(\angle LKN) = -\frac{23}{40}$ $\angle LKN$ и $\angle KLM$ — смежные, поэтому $\angle KLM = 180^\circ - \angle LKN$, и $cos(\angle KLM) = -cos(\angle LKN) = \frac{23}{40}$. Теперь рассмотрим треугольник $KLM$. В нём $KL = 4$, $LM = 5$, и $cos(\angle KLM) = \frac{23}{40}$. По теореме косинусов: $KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 \cdot KL \cdot LM \cdot cos(\angle KLM)$ $KM^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{23}{40}$ $KM^2 = 16 + 25 - 40 \cdot \frac{23}{40}$ $KM^2 = 41 - 23 = 18$ $KM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ **Ответ: $3\sqrt{2}$**