Помоги мне решить уравнения: 1/x² + 3/x - 10 = 0

4. Чтобы решить уравнение $\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0$, давай сначала избавимся от дробей. Домножим обе части уравнения на $x^2$ (это можно делать, только если $x$ не равен нулю, но мы это учтем позже). Получим: $1 + 3x - 10x^2 = 0$. Теперь перепишем это как квадратное уравнение: $-10x^2 + 3x + 1 = 0$. Домножим обе части на -1 для удобства: $10x^2 - 3x - 1 = 0$. Теперь можно найти корни этого уравнения через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$. Значит, $x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$. Оба корня не равны нулю, так что всё в порядке. **Ответ: $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{5}$** 5. Чтобы решить уравнение $\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0$, сделаем как в прошлый раз. Умножим обе части на $x^2$, предполагая, что $x$ не равен нулю. Получим: $1 + 2x - 3x^2 = 0$. Перепишем как квадратное уравнение: $-3x^2 + 2x + 1 = 0$. Умножим обе части на -1: $3x^2 - 2x - 1 = 0$. Теперь ищем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Значит, $x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. Оба корня не равны нулю, так что всё хорошо. **Ответ: 1 и $-\frac{1}{3}$** 6. Уравнение $\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$ можно решить, сделав замену. Пусть $y = \frac{1}{x-2}$. Тогда уравнение станет таким: $y^2 - y - 6 = 0$. Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$. Корни: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$, $y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Теперь вернемся к замене. Если $y = 3$, то $\frac{1}{x-2} = 3$, значит $x - 2 = \frac{1}{3}$, и $x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Если $y = -2$, то $\frac{1}{x-2} = -2$, значит $x - 2 = -\frac{1}{2}$, и $x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Важно проверить, что $x$ не равен 2, иначе деление на ноль. У нас всё хорошо. **Ответ: $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$** 7. Решим уравнение $\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0$. Сделаем замену: $y = \frac{1}{x-3}$. Тогда уравнение станет таким: $y^2 - 3y - 4 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Корни: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Вернемся к замене. Если $y = 4$, то $\frac{1}{x-3} = 4$, значит $x - 3 = \frac{1}{4}$, и $x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$. Если $y = -1$, то $\frac{1}{x-3} = -1$, значит $x - 3 = -1$, и $x = 3 - 1 = 2$. Проверим, что $x$ не равен 3 (из-за деления на ноль). Всё в порядке. **Ответ: $\frac{13}{4}$ и 2** 8. Давай решим уравнение $\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0$. Сделаем замену: $y = \frac{1}{x-1}$. Уравнение примет вид: $y^2 + 3y - 10 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$. Корни: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$, $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Вернемся к замене. Если $y = 2$, то $\frac{1}{x-1} = 2$, значит $x - 1 = \frac{1}{2}$, и $x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Если $y = -5$, то $\frac{1}{x-1} = -5$, значит $x - 1 = -\frac{1}{5}$, и $x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. Важно проверить, что $x$ не равен 1. У нас всё хорошо. **Ответ: $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{5}$** 9. Решим уравнение $\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{4}{x-1} - 12 = 0$. Сделаем замену: $y = \frac{1}{x-1}$. Уравнение станет: $y^2 + 4y - 12 = 0$. Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$. Корни: $y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$, $y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$. Вернемся к замене. Если $y = 2$, то $\frac{1}{x-1} = 2$, значит $x - 1 = \frac{1}{2}$, и $x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Если $y = -6$, то $\frac{1}{x-1} = -6$, значит $x - 1 = -\frac{1}{6}$, и $x = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Проверим, что $x$ не равен 1. Всё в порядке. **Ответ: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{6}$** 10. Решим уравнение $\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0$. Сделаем замену: $y = \frac{1}{x-1}$. Уравнение станет: $y^2 + 2y - 3 = 0$. Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Корни: $y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$, $y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Вернемся к замене. Если $y = 1$, то $\frac{1}{x-1} = 1$, значит $x - 1 = 1$, и $x = 1 + 1 = 2$. Если $y = -3$, то $\frac{1}{x-1} = -3$, значит $x - 1 = -\frac{1}{3}$, и $x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Проверим, что $x$ не равен 1. Всё хорошо. **Ответ: 2 и $\frac{2}{3}$** 11. Решим уравнение $(x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$. Заметим, что $(x-4)^4 = ((x-4)^2)^2$. Сделаем замену: $y = (x-4)^2$. Тогда уравнение станет таким: $y^2 - 4y - 21 = 0$. Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$. Корни: $y_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$, $y_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Вернемся к замене. Если $y = 7$, то $(x-4)^2 = 7$. Значит, $x - 4 = \pm \sqrt{7}$, и $x = 4 \pm \sqrt{7}$. Если $y = -3$, то $(x-4)^2 = -3$. Но квадрат не может быть отрицательным, поэтому здесь нет решений. **Ответ: $4 + \sqrt{7}$ и $4 - \sqrt{7}$** 12. Уравнение $(x-2)^4 + 3(x-2)^2 - 10 = 0$. Сделаем замену: $y = (x-2)^2$. Тогда получим уравнение $y^2 + 3y - 10 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$. Корни: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$, $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Вернемся к замене. Если $y = 2$, то $(x-2)^2 = 2$. Значит, $x - 2 = \pm \sqrt{2}$, и $x = 2 \pm \sqrt{2}$. Если $y = -5$, то $(x-2)^2 = -5$. Но квадрат не может быть отрицательным, поэтому здесь нет решений. **Ответ: $2 + \sqrt{2}$ и $2 - \sqrt{2}$** 13. Решим уравнение $(x+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0$. Сделаем замену: $y = (x+3)^2$. Тогда уравнение станет: $y^2 + 2y - 8 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. Корни: $y_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$, $y_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$. Вернемся к замене. Если $y = 2$, то $(x+3)^2 = 2$. Значит, $x + 3 = \pm \sqrt{2}$, и $x = -3 \pm \sqrt{2}$. Если $y = -4$, то $(x+3)^2 = -4$. Но квадрат не может быть отрицательным, поэтому здесь нет решений. **Ответ: $-3 + \sqrt{2}$ и $-3 - \sqrt{2}$**