Ты просишь вычислить выражения, упростить выражение и найти при каких значениях x имеет смысл выражение.

Давай по порядку разберём задания с картинки. **Номер 42** 1) $(\sqrt[6]{7^3})^2 = (7^{3/6})^2 = 7^{3/6 * 2} = 7^1 = 7$ 2) $(\sqrt[6]{9})^{-3} = (9^{1/6})^{-3} = 9^{-3/6} = 9^{-1/2} = (3^2)^{-1/2} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ 3) $(\sqrt[10]{32})^2 = (32^{1/10})^2 = 32^{2/10} = 32^{1/5} = (2^5)^{1/5} = 2$ 4) $(\sqrt[8]{16})^{-4} = (16^{1/8})^{-4} = 16^{-4/8} = 16^{-1/2} = (4^2)^{-1/2} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$ **Номер 43** 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[9]{729} = \sqrt[9]{3^6} = 3^{6/9} = 3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$ 2) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[10]{1024} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2$ 3) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[9]{3^7} = 3^{2/3} \cdot 3^{7/9} = 3^{2/3 + 7/9} = 3^{6/9 + 7/9} = 3^{13/9} = 3^{1 \frac{4}{9}} = 3 \cdot \sqrt[9]{3^4} = 3 \cdot \sqrt[9]{81}$ 4) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{5^5}} = \sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[12]{5^5} = \sqrt[12]{5^7} = 5^{7/12}$ **Номер 44** 1) $(\sqrt[3]{x})^6 = x^{6/3} = x^2$ 2) $(\sqrt[3]{y^2})^3 = y^{2*3/3} = y^2$ 3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6 = (a^{1/2} \cdot b^{1/3})^6 = a^{6/2} \cdot b^{6/3} = a^3 \cdot b^2$ 4) $(\sqrt{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12} = (a \cdot b^{3/4})^{12} = a^{12} \cdot b^{3/4*12} = a^{12} \cdot b^9$ 5) $(\sqrt[6]{\sqrt[3]{a^2b}})^6 = (a^2b)^{6/(3*6)} = (a^2b)^{1/3} = \sqrt[3]{a^2b}$ 6) $(\sqrt[4]{\sqrt[3]{27a^3}})^4 = (27a^3)^{4/(3*4)} = (3^3a^3)^{1/3} = ((3a)^3)^{1/3} = 3a$ **Номер 45** 1) Выражение $\sqrt[6]{2x-3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $2x - 3 \ge 0$. Решаем неравенство: $2x \ge 3$, значит $x \ge \frac{3}{2}$. 2) Выражение $\sqrt[6]{x+3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x + 3 \ge 0$. Решаем неравенство: $x \ge -3$. 3) Выражение $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$ имеет смысл, когда $2x^2 - x - 1 \ge 0$. Чтобы решить это неравенство, сначала найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$. Теперь определим знаки выражения $2x^2 - x - 1$ на интервалах $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(- \frac{1}{2}; 1)$ и $(1; +\infty)$. $2x^2 - x - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$. 4) Выражение $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{2-3x}{2x-4} \ge 0$. Решаем неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$, $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки на интервалах. Выражение $\frac{2-3x}{2x-4} \ge 0$ при $x \in [\frac{2}{3}; 2)$. **Номер 46** 1) $\sqrt{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt{9 - \sqrt{17}} = \sqrt{(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17})} = \sqrt{81 - 17} = \sqrt{64} = 8$ 2) $(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 - 2 \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} + (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + 3 - \sqrt{5} = 6 - 2 \sqrt{9-5} = 6 - 2 \sqrt{4} = 6 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$ 3) $(\sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}})^2 = (\sqrt{5 + \sqrt{21}})^2 + 2 \cdot \sqrt{5 + \sqrt{21}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{21}} + (\sqrt{5 - \sqrt{21}})^2 = 5 + \sqrt{21} + 2 \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} + 5 - \sqrt{21} = 10 + 2 \sqrt{25 - 21} = 10 + 2 \sqrt{4} = 10 + 2 \cdot 2 = 10 + 4 = 14$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если остались вопросы, не стесняйся спрашивать.