Помоги мне упростить выражение, решить систему уравнений и найти количество решений у уравнения

59. a) Чтобы упростить это выражение, давай сначала разберемся с каждой частью по отдельности, а затем соберем все вместе: $$\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$$ 1. Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов: $$\frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$$ 2. Упростим вторую дробь, сократив 2: $$\frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$$ 3. Приведем к общему знаменателю первые две дроби. Общий знаменатель будет $(a - b)(a + b)^2$. Домножим числители: $$\frac{2ab(a + b) + a(a - b)^2}{(a - b)(a + b)^2} + \frac{b}{b - a}$$ 4. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{2a^2b + 2ab^2 + a(a^2 - 2ab + b^2)}{(a - b)(a + b)^2} + \frac{b}{b - a}$$ $$\frac{2a^2b + 2ab^2 + a^3 - 2a^2b + ab^2}{(a - b)(a + b)^2} + \frac{b}{b - a}$$ $$\frac{a^3 + 3ab^2}{(a - b)(a + b)^2} + \frac{b}{b - a}$$ 5. Преобразуем третью дробь, изменив знак в знаменателе и числителе: $$\frac{a^3 + 3ab^2}{(a - b)(a + b)^2} - \frac{b}{a - b}$$ 6. Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a - b)(a + b)^2$. Домножим числитель второй дроби: $$\frac{a^3 + 3ab^2 - b(a + b)^2}{(a - b)(a + b)^2}$$ 7. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{a^3 + 3ab^2 - b(a^2 + 2ab + b^2)}{(a - b)(a + b)^2}$$ $$\frac{a^3 + 3ab^2 - a^2b - 2ab^2 - b^3}{(a - b)(a + b)^2}$$ $$\frac{a^3 - a^2b + ab^2 - b^3}{(a - b)(a + b)^2}$$ 8. Сгруппируем члены в числителе: $$\frac{a^2(a - b) + b^2(a - b)}{(a - b)(a + b)^2}$$ 9. Вынесем общий множитель $(a - b)$ в числителе: $$\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)^2}$$ 10. Сократим $(a - b)$: $$\frac{a^2 + b^2}{(a + b)^2}$$ Вот и все! Выражение упрощено. **Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{(a + b)^2}$** 60. a) Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240. \end{cases}$$ 1. Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = y + 1$. 2. Подставим это выражение во второе уравнение: $(y + 1)y = 240$. 3. Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $y^2 + y - 240 = 0$. 4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$. $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 + 31}{2} = 15$. $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 - 31}{2} = -16$. 5. Найдем соответствующие значения $x$: Если $y_1 = 15$, то $x_1 = y_1 + 1 = 15 + 1 = 16$. Если $y_2 = -16$, то $x_2 = y_2 + 1 = -16 + 1 = -15$. **Ответ: (16; 15), (-15; -16).** 61. a) Давай найдем, сколько решений имеет уравнение: $$\frac{25}{x} = 2x - 5$$ Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дроби. Домножим обе части уравнения на $x$ (считаем, что $x \neq 0$): $$25 = 2x^2 - 5x$$ Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$2x^2 - 5x - 25 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться дискриминантом: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$$ Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных решения. Найдем их: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{4} = \frac{5 + 15}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{4} = \frac{5 - 15}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ Итак, уравнение имеет два решения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2.5$. **Ответ: 2 решения**