Вычисли высоту дерева, если длина солнечной тени от дерева равна 24 м, а вертикальный шест высотой 1 м 50 см в тот же момент отбрасывает тень длиной 1 м 60 см; найди длину отрезка касательной, проведённой из точки B к окружности с центром A, проходящей через C, если на отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 и BC=10.

Задача 8. 1. Выразим все величины в сантиметрах: Длина тени дерева = 24 м = 2400 см. Высота шеста = 1 м 50 см = 150 см. Длина тени шеста = 1 м 60 см = 160 см. 2. Составим пропорцию: $$\frac{\text{высота дерева}}{\text{длина тени дерева}} = \frac{\text{высота шеста}}{\text{длина тени шеста}}$$ $$\frac{x}{2400} = \frac{150}{160}$$ 3. Решим пропорцию: $$x = \frac{150 \cdot 2400}{160} = \frac{15 \cdot 2400}{16} = \frac{15 \cdot 600}{4} = 15 \cdot 150 = 2250 \text{ см}$$ 4. Переведём обратно в метры: 2250 см = 22,5 м. **Ответ: высота дерева 22,5 м** Задача 9. 1. Найдём длину отрезка $AB$: $AB = AC + CB = 75 + 10 = 85$. 2. По условию, окружность с центром в точке $A$ проходит через точку $C$, значит, радиус окружности равен $AC = 75$. 3. Пусть $K$ — точка касания, проведённой из точки $B$ к окружности. Тогда $AK$ — радиус, проведённый в точку касания, и $AK \perp BK$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. В нём $AK = 75$ (радиус), $AB = 85$. По теореме Пифагора найдём $BK$: $BK^2 = AB^2 - AK^2 = 85^2 - 75^2 = (85 + 75)(85 - 75) = 160 \cdot 10 = 1600$. $BK = \sqrt{1600} = 40$. **Ответ: длина отрезка касательной равна 40.**