Реши выражение с комплексными числами: i(2+5i) / (1+2i)

Конечно, давай решим! Тебе нужно упростить выражение: $\frac{i(2+5i)}{1+2i}$. Чтобы это сделать, давай сначала раскроем скобки в числителе, а потом избавимся от комплексного числа в знаменателе. 1. **Раскрываем скобки в числителе:** $$i(2+5i) = 2i + 5i^2$$ Помни, что $i^2 = -1$, поэтому: $$2i + 5i^2 = 2i + 5(-1) = -5 + 2i$$ 2. **Теперь у нас есть выражение:** $$\frac{-5+2i}{1+2i}$$ Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, нужно умножить и числитель, и знаменатель на комплексно сопряжённое к знаменателю. Комплексно сопряжённое к $1+2i$ будет $1-2i$. 3. **Умножаем числитель и знаменатель на $(1-2i)$:** $$\frac{-5+2i}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{(-5+2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$$ 4. **Раскрываем скобки в числителе:** $$(-5+2i)(1-2i) = -5 + 10i + 2i - 4i^2 = -5 + 12i - 4(-1) = -5 + 12i + 4 = -1 + 12i$$ 5. **Раскрываем скобки в знаменателе:** $$(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i + 2i - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$$ 6. **Теперь у нас есть:** $$\frac{-1+12i}{5}$$ 7. **Разделяем на действительную и мнимую части:** $$\frac{-1+12i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$$ **Ответ:** $- \frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$ Всё получилось! Если тебе что-то не понятно, спрашивай.