Ты просишь меня найти значение выражения, определить какой точке на координатной прямой соответствует числу √53, решить уравнение x² + 4x - 32 = 0 и найти собственную скорость моторной лодки.

1. Найди значение выражения: a) Сначала нужно сложить дроби в скобках: $\frac{11}{12} + \frac{11}{20}$. Чтобы это сделать, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 20 будет 60. Значит: $$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$$ $$\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}$$ Теперь складываем: $$\frac{55}{60} + \frac{33}{60} = \frac{55 + 33}{60} = \frac{88}{60}$$ Сократим дробь $\frac{88}{60}$ на 4: $\frac{88 : 4}{60 : 4} = \frac{22}{15}$. Теперь нужно умножить полученную дробь на $\frac{15}{8}$: $$\frac{22}{15} \cdot \frac{15}{8} = \frac{22 \cdot 15}{15 \cdot 8} = \frac{22}{8}$$ Сократим дробь $\frac{22}{8}$ на 2: $\frac{22 : 2}{8 : 2} = \frac{11}{4}$. Чтобы представить дробь $\frac{11}{4}$ в виде десятичной, разделим 11 на 4: $\frac{11}{4} = 2,75$. б) Сначала выполним умножение: $-4 \cdot (-6,2)$. Минус на минус дает плюс: $$-4 \cdot (-6,2) = 24,8$$ Теперь вычитаем: $$24,8 - 8,4 = 16,4$$ 2. Чтобы определить, какой точке соответствует число $\sqrt{53}$, нужно понять, между какими целыми числами находится это значение. Мы знаем, что: $$7^2 = 49$$ $$8^2 = 64$$ Поскольку 53 находится между 49 и 64, то $\sqrt{53}$ находится между 7 и 8. Так как 53 ближе к 49, чем к 64, то $\sqrt{53}$ будет ближе к 7. Судя по координатной прямой, это точка A. **Правильный ответ: 1** 3. Найди значение выражения: a) Нужно упростить выражение $\frac{(3^2 \cdot 3^5)^6}{(3 \cdot 3^7)^5}$. Сначала упростим числитель: $$(3^2 \cdot 3^5)^6 = (3^{2+5})^6 = (3^7)^6 = 3^{7 \cdot 6} = 3^{42}$$ Теперь упростим знаменатель: $$(3 \cdot 3^7)^5 = (3^{1+7})^5 = (3^8)^5 = 3^{8 \cdot 5} = 3^{40}$$ Теперь разделим числитель на знаменатель: $$\frac{3^{42}}{3^{40}} = 3^{42-40} = 3^2 = 9$$ б) Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{24 \cdot 50 \cdot 2}$. $$24 \cdot 50 \cdot 2 = 24 \cdot 100 = 2400$$ Теперь найдем корень: $$\sqrt{2400} = \sqrt{24 \cdot 100} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot 100} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{100} = 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 10 = 20\sqrt{6}$$ 4. Чтобы решить уравнение $x^2 + 4x - 32 = 0$, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае $a = 1$, $b = 4$, $c = -32$. Подставляем значения: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$$ Теперь найдем два корня: $$x_1 = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ 5. Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки против течения будет $v - 2$, а по течению $v + 2$. Время, затраченное на путь против течения: $\frac{16}{v - 2}$. Время, затраченное на путь по течению: $\frac{12}{v + 2}$. Общее время: 3 часа. Составим уравнение: $$\frac{16}{v - 2} + \frac{12}{v + 2} = 3$$ Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{16(v + 2) + 12(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 3$$ $$16v + 32 + 12v - 24 = 3(v^2 - 4)$$ $$28v + 8 = 3v^2 - 12$$ $$3v^2 - 28v - 20 = 0$$ Решим квадратное уравнение. $a = 3$, $b = -28$, $c = -20$. $$v = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 240}}{6} = \frac{28 \pm \sqrt{1024}}{6} = \frac{28 \pm 32}{6}$$ $$v_1 = \frac{28 + 32}{6} = \frac{60}{6} = 10$$ $$v_2 = \frac{28 - 32}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость лодки равна 10 км/ч.