Ты просишь решить контрольную работу по алгебре за 8 класс: упростить выражения, преобразовать в многочлен, решить уравнения и разложить на множители

Давай решим задания из контрольной работы по алгебре для 8 класса. **Вариант 1** 1. Упростим выражение: а) $3a^2b \cdot (-5a^3b)$. Чтобы упростить, нужно перемножить коэффициенты и сложить степени одинаковых переменных: $3 \cdot (-5) \cdot a^{2+3} \cdot b^{1+1} = -15a^5b^2$ б) $(2x^2y)^3$ Здесь нужно возвести каждый множитель в куб: $2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 8x^6y^3$ 2. Преобразуем в многочлен выражение $(a + 6)^2 - 2a(3-2a)$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(a^2 + 12a + 36) - (6a - 4a^2)$. Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные члены: $a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2 = 5a^2 + 6a + 36$ 3. Решим уравнение $3x - 5(2x + 1) = 3(3-2x)$. Раскроем скобки: $3x - 10x - 5 = 9 - 6x$. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа – в другую: $3x - 10x + 6x = 9 + 5$ $-x = 14$ $x = -14$ 4. Разложим на множители: а) $x^2 - 5x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 5)$ б) $y^2 - 25$. Здесь у нас разность квадратов: $y^2 - 5^2$, поэтому раскладываем как $(y - 5)(y + 5)$. в) $a^2 + 12a + 36$. Это полный квадрат суммы: $(a + 6)^2$. г) $ax - ay + 5x - 5y$. Сгруппируем члены и вынесем общие множители: $a(x - y) + 5(x - y) = (a + 5)(x - y)$ 5. Вычислим $\frac{7^8 \cdot 7^5}{7^{12}}$. При умножении степени складываются, при делении – вычитаются: $\frac{7^{8+5}}{7^{12}} = \frac{7^{13}}{7^{12}} = 7^{13-12} = 7^1 = 7$ 6. Лодка проплыла 3 ч против течения реки и 2 ч по течению реки, проплыв за это время 32 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдем собственную скорость лодки. Пусть $v$ – собственная скорость лодки. Тогда: - Скорость против течения: $v - 3$ - Скорость по течению: $v + 3$ Расстояние равно скорость умножить на время. Получаем уравнение: $3(v - 3) + 2(v + 3) = 32$ $3v - 9 + 2v + 6 = 32$ $5v - 3 = 32$ $5v = 35$ $v = 7$ км/ч **Вариант 2** 1. Упростим выражение: а) $-2xy^2 \cdot 3x^3y^2$. Перемножаем коэффициенты и складываем степени: $-2 \cdot 3 \cdot x^{1+3} \cdot y^{2+2} = -6x^4y^4$ б) $(-4ab^3)^2$. Возводим каждый множитель в квадрат: $(-4)^2 \cdot a^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^2b^6$ 2. Преобразуем в многочлен выражение $(x - 2)^2 - (x - 1)(x + 2)$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 2x - x - 2)$. Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные члены: $x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 = -5x + 6$ 3. Решим уравнение $4(1-5x) = 9-3(6x-5)$. Раскроем скобки: $4 - 20x = 9 - 18x + 15$. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа – в другую: $-20x + 18x = 9 + 15 - 4$ $-2x = 20$ $x = -10$ 4. Разложим на множители: а) $a^2 - 6a$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a - 6)$ б) $x^2 - 49$. Здесь у нас разность квадратов: $x^2 - 7^2$, поэтому раскладываем как $(x - 7)(x + 7)$. в) $y^2 + 6y + 9$. Это полный квадрат суммы: $(y + 3)^2$. г) $2a - 2b + ca - cb$. Сгруппируем члены и вынесем общие множители: $2(a - b) + c(a - b) = (2 + c)(a - b)$ 5. Вычислим $\frac{5^6 \cdot 5^6}{25^4}$. Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$. Тогда: $\frac{5^6 \cdot 5^6}{5^8} = \frac{5^{6+6}}{5^8} = \frac{5^{12}}{5^8} = 5^{12-8} = 5^4 = 625$ 6. Лодка проплыла 4 ч по озеру и 5 ч по реке против течения, проплыв за это время 30 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдем собственную скорость лодки. Допущение: скорость по озеру = собственной скорости лодки Пусть $v$ – собственная скорость лодки. Тогда: - Скорость против течения: $v - 3$ Расстояние равно скорость умножить на время. Получаем уравнение: $4v + 5(v - 3) = 30$ $4v + 5v - 15 = 30$ $9v = 45$ $v = 5$ км/ч