Реши следующие задания по математике для 10 класса: вычисли $(7 - 8\frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{18}$; известно, что 12% от x равны 18, чему равен x; упрости выражение $\frac{a^5 \cdot a^2}{a^2} - a^5$; сократи дробь $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$; реши линейное уравнение $4 + 5x = 1 - 4(2 + x)$; реши квадратное уравнение $5x^2 + 4x - 12 = 0$; реши систему неравенств $\begin{cases} 3x - 1 < 4x + 2 \\ x - 1 > 5 - 2x \end{cases}$; вычисли площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 20 см, а один из катетов равен 12 см; известно, что градусная мера дуги ACD на 180° меньше градусной меры дуги AMD, найди градусную меру дуги AMD.

1. Чтобы вычислить $(7 - 8\frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{18}$, сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $8\frac{4}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{44}{5}$. Теперь вычисляем: $$(7 - \frac{44}{5}) \cdot \frac{5}{18} = (\frac{35}{5} - \frac{44}{5}) \cdot \frac{5}{18} = \frac{-9}{5} \cdot \frac{5}{18} = \frac{-9 \cdot 5}{5 \cdot 18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2}$$ 2. Чтобы найти $x$, если 12% от $x$ равны 18, можно составить пропорцию. $12\% = 0,12$. Тогда $0,12x = 18$. Чтобы найти $x$, нужно разделить 18 на 0,12: $$x = \frac{18}{0,12} = \frac{1800}{12} = 150$$ 3. Чтобы упростить выражение $\frac{a^5 \cdot a^2}{a^2} - a^5$, сначала упростим дробь: $$\frac{a^5 \cdot a^2}{a^2} = a^5$$ Теперь вычисляем: $$a^5 - a^5 = 0$$ 4. Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Знаменатель — это полный квадрат: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. Теперь сокращаем дробь: $$\frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)(a + b)} = \frac{a - b}{a + b}$$ 5. Чтобы решить уравнение $4 + 5x = 1 - 4(2 + x)$, сначала раскроем скобки: $$4 + 5x = 1 - 8 - 4x$$ Теперь перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$5x + 4x = 1 - 8 - 4$$ $$9x = -11$$ $$x = -\frac{11}{9}$$ 6. Чтобы решить квадратное уравнение $5x^2 + 4x - 12 = 0$, воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 5$, $b = 4$, $c = -12$. Вычисляем дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$$ Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Находим корни по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 16}{10} = \frac{12}{10} = 1,2$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 16}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$ 7. Чтобы решить систему неравенств $\begin{cases} 3x - 1 < 4x + 2 \\ x - 1 > 5 - 2x \end{cases}$, решим каждое неравенство отдельно. Первое неравенство: $$3x - 1 < 4x + 2$$ $$3x - 4x < 2 + 1$$ $$-x < 3$$ $$x > -3$$ Второе неравенство: $$x - 1 > 5 - 2x$$ $$x + 2x > 5 + 1$$ $$3x > 6$$ $$x > 2$$ Объединяем решения: $x > -3$ и $x > 2$. Так как оба условия должны выполняться, выбираем большее значение: $x > 2$. 8. Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и катетом 12 см, сначала найдём второй катет по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Пусть $a = 12$ см, $c = 20$ см. Тогда: $$12^2 + b^2 = 20^2$$ $$144 + b^2 = 400$$ $$b^2 = 400 - 144 = 256$$ $$b = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$$ Теперь вычисляем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$$ 9. Допущение: Градусная мера полной окружности равна $360^\circ$. Пусть градусная мера дуги $AMD = x$. Тогда градусная мера дуги $ACD = x - 180^\circ$. Вместе эти две дуги составляют полную окружность, то есть $360^\circ$. Получаем уравнение: $$x + (x - 180^\circ) = 360^\circ$$ $$2x - 180^\circ = 360^\circ$$ $$2x = 360^\circ + 180^\circ$$ $$2x = 540^\circ$$ $$x = \frac{540^\circ}{2} = 270^\circ$$ Значит, градусная мера дуги $AMD$ равна $270^\circ$. **Ответы:** 1. $\frac{-1}{2}$ 2. 150 3. 0 4. $\frac{a-b}{a+b}$ 5. $\frac{-11}{9}$ 6. 1,2; -2 7. $x>2$ 8. 96 $см^2$ 9. 270$\degree$