Реши задачу: в параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 169°. Найди меньший угол между диагоналями параллелограмма.

8. Диагональ AC в два раза больше стороны AB, значит, в треугольнике ABC сторона AC в два раза больше стороны AB, и угол \(\angle ACD = 169^\circ\). Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда \(\angle ACB = 180^\circ - 169^\circ = 11^\circ\). В треугольнике ABC сторона AC в два раза больше стороны AB, следовательно, \(\angle ABC = 30^\circ\), значит, \(\angle BAC = 180^\circ - 30^\circ - 11^\circ = 139^\circ\). \(\angle CAD = \angle ACB = 11^\circ\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Тогда \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 139^\circ + 11^\circ = 150^\circ\). Так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), то \(\angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). \(\angle OAD = \angle CAD = 11^\circ\). \(\angle ODA = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ\). Тогда \(\angle AOD = 180^\circ - 11^\circ - 15^\circ = 154^\circ\). Меньший угол между диагоналями равен \(180^\circ - 154^\circ = 26^\circ\). **Ответ: 26** 9. Диагональ AC в два раза больше стороны AB, значит, в треугольнике ABC сторона AC в два раза больше стороны AB, и угол \(\angle ACD = 21^\circ\). Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда \(\angle ACB = 180^\circ - 21^\circ = 159^\circ\). В треугольнике ABC сторона AC в два раза больше стороны AB, следовательно, \(\angle ABC = 30^\circ\), значит, \(\angle BAC = 180^\circ - 30^\circ - 159^\circ = -9^\circ\). Тут что-то не так, получается отрицательный угол. В условии задачи ошибка? 10. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10. Так как AK - биссектриса угла A, то \(\angle BAK = \angle KAD\). \(\angle BKA = \angle KAD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK. Значит, \(\angle BAK = \angle BKA\), то есть треугольник ABK - равнобедренный, и AB = BK = 6. BC = BK + CK = 6 + 10 = 16. Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + BC) = 2 * (6 + 16) = 44. **Ответ: 44**